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抛物线一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8（正确答案）B【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力.转化思想的应用【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=42，|AM|=22，|DE|=25，|DN|=5，|ON|=p2，xA=(22)22p=4p，|OD|=|OA|，16p2+8=p24+5，解得：p=4C的焦点到准线的距离为：4故选B2. 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx(k0)与C交于点P，PFx轴，则k=( )A. 12 B. 1 C. 32 D. 2（正确答案）D解：抛物线C：y2=4x的焦点F为(1,0)，曲线y=kx(k0)与C交于点P在第一象限，由PFx轴得：P点横坐标为1，代入C得：P点纵坐标为2，故k=2，故选：D根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档3. 设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上，则该抛物线的准线方程为( )A. x=-4 B. x=-3 C. x=-2 D. x=-1（正确答案）A解：把y=0代入2x+3y-8=0得：2x-8=0，解得x=4，抛物线的焦点坐标为(4,0)，抛物线的准线方程为x=-4故选：A求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程本题考查了抛物线的性质，属于基础题4. 点A(2,1)到抛物线y2=ax准线的距离为1，则a的值为( )A. -14或-112 B. 14或112 C. -4或-12 D. 4或12（正确答案）C解：抛物线的准线方程为x=-a4，点A(2,1)到抛物线y2=ax准线的距离为|2+a4|=1解得a=-4或a=-12故选C求出抛物线的准线方程，根据距离列出方程解出a的值本题考查了抛物线的简单性质，准线方程，属于基础题5. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FMFN=( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8（正确答案）D解：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，过点(-2,0)且斜率为23的直线为：3y=2x+4，联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0，解得y1=2，y2=4，不妨M(1,2)，N(4,4)，FM=(0,2)，FN=(3,4)则FMFN=(0,2)(3,4)=8故选：D求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x4y=0，则该双曲线的标准方程为( )A. x29-y216=1 B. y29-x216=1 C. x216-y29=1 D. y216-x29=1（正确答案）B解：抛物线x2=20y中，2p=20，p2=5，抛物线的焦点为F(0,5)，设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1，双曲线的一个焦点为F(0,5)，且渐近线的方程为3x4y=0即y=34x，a2+b2=c=5ab=34，解得a=3，b=4(舍负)，可得该双曲线的标准方程为：y29-x216=1. 故选：B根据抛物线方程，算出其焦点为F(0,5).由此设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1，根据基本量的平方关系与渐近线方程的公式，建立关于a、b的方程组解出a、b的值，即可得到该双曲线的标准方程本题给出双曲线与已知抛物线有一个焦点重合，在已知渐近线的情况下求双曲线的方程.着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题7. 若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于( )A. 12 B. 1 C. 32 D. 2（正确答案）D解：由题意，3x0=x0+p2，x0=p4，p22=2，p0，p=2，故选D根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+p2，得出x0求得p，可得答案本题主要考查了抛物线的定义和性质.考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题8. 若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2，则a=( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（正确答案）C【分析】本题考查抛物线标准方程及简单性质，利用抛物线的方程，求出p，即可求出结果.是基础题【解答】解：抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2，可得p=2，则a=2p=4故选C9. 已知点A(-2,3)在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A. -2 B. -43 C. -34 D. -12（正确答案）C解：由点A(-2,3)在抛物线C：y2=2px的准线上，即-2=-p2，则p=4，故抛物线的焦点坐标为：(2,0)，则直线AF的斜率k=3-0-2-2=-34，故选C由题意求得抛物线方程，求得焦点坐标，利用直线的斜率公式即可求得直线AF的斜率本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点坐标及准线方程，考查计算能力，属于基础题10. 已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，AF=|54x0|，则x0=( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（正确答案）A解：抛物线C：y2=x的焦点为F(14,0)，A(x0,y0)是C上一点，AF=|54x0|，x0054x0=x0+14，解得x0=1故选：A利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题11. 若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=( )A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 15（正确答案）A解：联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得k2x2-(4k+8)x+4=0，(k0)，判别式(4k+8)2-16k20，解得k-1设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=4k+8k2，由AB中点的横坐标为2，即有4k+8k2=4，解得k=2或-1(舍去)，故选：A联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可求得k=2本题考查抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，属于中档题12. 已知抛物线方程为y=14x2，则该抛物线的焦点坐标为( )A. (0,-1) B. (-116,0) C. (116,0) D. (0,1)（正确答案）D解：把抛物线方程化为标准方程为：x2=4y，抛物线的焦点在y轴的正半轴，p=2，p2=1抛物线的焦点坐标为(0,1)故选：D把抛物线方程化成标准方程，根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|=_（正确答案）6【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力.求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F(2,0)，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：22，|FN|=2|FM|=2(1-2)2+(22-0)2=6故答案为614. 若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_ （正确答案）9解：抛物线的准线为x=-1，点M到焦点的距离为10，点M到准线x=-1的距离为10，点M到y轴的距离为9故答案为：9根据抛物线的性质得出M到准线x=-1的距离为10，故到y轴的距离为9本题考查了抛物线的性质，属于基础题15. 设抛物线x=2pt2y=2pt(t为参数，p0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C(72p,0)，AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为32，则p的值为_（正确答案）6解：抛物线x=2pt2y=2pt(t为参数，p0)的普通方程为：y2=2px焦点为F(p2,0)，如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C(72p,0)，AF与BC相交于点E.|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|=32p，A(p,2p)，ACE的面积为32，AEEF=ABCF=12，可得13SAFC=SACE即：13123p2p=32，解得p=6故答案为：6化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力16. 抛物线y2=2x的准线方程是_；该抛物线的焦点为F，点M(x0,y0)在此抛物线上，且|MF|=52，则x0=_（正确答案）x=-12；2解：抛物线方程为y2=2x 可得2p=2，得p2=12，所以抛物线的焦点为F(12,0)，准线方程为x=-12；点M(x0,y0)在此抛物线上，根据抛物线的定义，可得|MF|=x0+p2=52 即x0+12=52，解之得x0=2 故答案为：x=-12，2根据抛物线的标准方程，可得抛物线开口向右，由2p=2得p2=12，所以抛物线的准线方程为x=-12；由抛物线的定义结合点M坐标可得|MF|=x0+p2=52，解之可得x0的值本题给出抛物线的标准方程，求它的准线方程和满足|MF|=52的点M的坐标.着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 在直角坐标系xOy中，直线l：y=t(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H()求|OH|ON|；()除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由（正确答案）解：()将直线l与抛物线方程联立，解得P(t22p,t)，M关于点P的对称点为N，xN+xM2=t22p，yN+yM2=t，N(t2p,t)，ON的方程为y=ptx，与抛物线方程联立，解得H(2t2p,2t) |OH|ON|=|yH|yN|=2；()由()知kMH=p2t，直线MH的方程为y=p2tx+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2-4ty+4t2=0，=16t2-44t2=0，直线MH与C除点H外没有其它公共点()求出P，N，H的坐标，利用|OH|ON|=|yH|yN|，求|OH|ON|；()直线MH的方程为y=p2tx+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2-4ty+4t2=0，利用判别式可得结论本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键18. 已知抛物线C：y2=2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4,-2)，求直线l与圆M的方程（正确答案）解：方法一：证明：(1)当直线l的斜率不存在时，则A(2,2)，B(2,-2)，则OA=(2,2)，OB=(2,-2)，则OAOB=0，OAOB，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k(x-2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，y=kx-2y2=2x，整理得：k2x2-(4k2+1)x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=(y1y2)2，由y1y20)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（正确答案）解：(1)方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k(x-1)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y2=4xy=k(x-1)，整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=0，则x1+x2=2(k2+2)k2，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=2(k2+2)k2+2=8，解得：k2=1，则k=1，直线l的方程y=x-，；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，设直线AB的倾斜角为，由抛物线的弦长公式|AB|=2psin2=4sin2=8，解得：sin2=12，=4，则直线的斜率k=1，直线l的方程y=x-1；(2)过A，B分别向准线x=-1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1准线l，垂足为D，则|DD1|=12(|AA1|+|BB1|)由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=-1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由(1)可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2-2=4，则D(3,2)，过点A，B且与C的准线相切的圆的方程(x-3)2+(y-2)2=16.(1)方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=2psin2，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；(2)根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题
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