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课时分层作业(十四)求曲线的方程(建议用时：40分钟)基础达标练一、填空题1已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则点P的轨迹方程是_解析(3x，y)，(2x，y)，(3x)(2x)y2x2x6y2x26，y2x.答案y2x2“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是“方程f(x，y)0是曲线C的方程”的_条件解析“方程f(x，y)0是曲线C的方程 ”“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，反之不成立答案必要不充分3平面内有两定点A，B，且AB4，动点P满足|4，则点P的轨迹方程是_解析以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(2,0)，B(2,0)|2|4，|2.设P(x，y)，2，即x2y24，点P的轨迹方程是x2y24.答案x2y244点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是_. 【导学号：71392132】解析设Q(x0，y0)是圆x2y24上任一点，PQ中点M(x，y)，则由中点坐标公式得Q(x0，y0)在圆x2y24上，xy4，即(2x4)2(2y2)24.(x2)2(y1)21即为中点轨迹方程答案(x2)2(y1)215已知A(1,0)，B(2,4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是_解析由两点式，得直线AB的方程是，即4x3y40，AB5.设C点的坐标为(x，y)，则510，即4x3y160或4x3y240.答案4x3y160或4x3y2406已知AB3，A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，则动点P的轨迹方程是_解析设P(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)AB3，xy9，(x，y)(x0,0)(0，y0).所以即又xy9，所以x29y29，即y21.答案y217ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_解析如图，ADAE8，BFBE2，CDCF，所以CACB826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)答案1(x3)8在ABC中，若B、C的坐标分别是(2,0)，(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是_解析由B，C的坐标分别为(2,0)，(2,0)得D(0,0)设A(x，y)，则由AD3得x2y29，又A为ABC的顶点，故A、B、C三点不能共线，故点A的轨迹方程为x2y29(y0)答案x2y29(y0)二、解答题9已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8，求动圆圆心的轨迹C的方程. 【导学号：71392133】解如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意知，O1AO1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN垂足为H，则H是MN的中点，MN8，O1M.又O1A，化简整理得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与原点O重合为一点，O1的坐标(0,0)也满足方程y28x.综上，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.10如图265，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程图265解法一：设点M的坐标为(x，y)M为线段AB的中点，A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)l1l2，且l1，l2过点P(2,4)，PAPB，kPAkPB1.而kPA(x1)，kPB，1(x1)整理，得x2y50(x1)当x1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x2y50.综上所述，点M的轨迹方程是x2y50.法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.l1l2，2PMAB.而PM，AB，2，化简，得x2y50，即为所求轨迹方程法三：l1l2，OAOB，O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M，MPMO，点M的轨迹为线段OP的垂直平分线kOP2，OP的中点坐标为(1,2)，点M的轨迹方程是y2(x1)，即x2y50.能力提升练1已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_解析设P(x，y)，MPN为直角三角形，MP2NP2MN2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得x2y24.M，N，P不共线，x2，轨迹方程为x2y24(x2)答案x2y24(x2)2已知在ABC中，A(2,0)，B(0，2)，第三个顶点C在曲线y3x21上移动，则ABC的重心的轨迹方程是_解析设ABC的重心为G(x，y)；顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得点C(x1，y1)在曲线y3x21上，3y23(3x2)21.即y9x212x3为所求轨迹方程答案y9x212x33在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，点B在直线y3上，M点满足，则点M的轨迹方程是_解析设M(x，y)，由题意得B(x，3)，A(0，1)，(x，1y)，(0，3y)，(x，2)由得()0，即(x，42y)(x，2)0，(x)x(42y)(2)0，化简得yx22，即为点M的轨迹方程答案yx224过点A(2,1)的直线l与椭圆y21相交，求l被截得的弦的中点的轨迹方程. 【导学号：71392134】解法一：设直线l的斜率为k，则l的方程为y1k(x2)，设弦两端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为M(x，y)，则把l方程代入椭圆方程消去y，得(12k2)x24k(12k)x2(12k)220，16k2(12k)28(12k2)(12k)210，得2k24k0，0k2，x.中点满足消去k得轨迹方程x22y22x2y0，所以弦的中点的轨迹方程为x22y22x2y0(椭圆内部)法二：设弦两端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为M(x，y)，由得(y1y2)(y1y2)0，又kPQkAM，2y(y1)x(x2)，即x22y22x2y0，所以弦的中点的轨迹方程为x22y22x2y0(椭圆内部).
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