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8.2余弦定理(二)学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.知识链接1.以下问题不能用余弦定理求解的是.(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.(2)已知两角和一边，求其他角和边.(3)已知一个三角形的二条边及其夹角，求其他的边和角.(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.答案(2)2.利用余弦定理判断三角形的形状正确的是.(1)在ABC中，若a2b2c2，则ABC为直角三角形.(2)在ABC中，若a2b2c2，则ABC为钝角三角形.答案(1)(3)预习导引1.正弦定理及其变形(1)2R.(2)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.2.余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.(2)cosA；cosB；cosC.(3)在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c2a2b2C为锐角.3.三角变换公式(1)cos ()coscossinsin；(2)cos ()coscossinsin；(3)cos2cos2sin22cos2112sin2.要点一正弦、余弦定理的综合应用例1如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长.解在ABD中，AD10，AB14，BDA60，设BDx，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcosBDA，142102x2210xcos60，即x210x960，解得x116，x26(舍去)，BD16.ADCD，BDA60，CDB30.在BCD中，由正弦定理得，BC8.规律方法余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.跟踪演练1在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC，求b.解方法一在ABC中，sinAcosC3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有a3c，化简并整理得2(a2c2)b2.又由已知a2c22b，4bb2.解得b4或b0(舍).方法二由余弦定理得：a2c2b22bccosA.又a2c22b，b0.所以b2ccosA2.又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinC，sin (AC)4cosAsinC，即sinB4cosAsinC，由正弦定理得sinBsinC，故b4ccosA.由解得b4.要点二利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在ABC中，有(1)abcosCccosB；(2)bccosAacosC；(3)cacosBbcosA；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明方法一(1)由正弦定理得b2RsinB，c2RsinC，bcosCccosB2RsinBcosC2RsinCcosB2R(sinBcosCcosBsinC)2Rsin(BC)2RsinAa.即abcosCccosB.同理可证(2)bccosAacosC；(3)cacosBbcosA.方法二(1)由余弦定理得cosB，cosC，bcosCccosBbca.abcosCccosB.同理可证(2)bccosAacosC；(3)cacosBbcosA.规律方法(1)证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左右；右左；左中右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.跟踪演练2在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，求证：.证明方法一左边，右边，等式成立.方法二因为右边左边.等式成立.要点三利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sinA2sinBcosC，试确定ABC的形状.解由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc，即b2c2a2bc，cosA，A，又sinA2sinBcosC，由正弦、余弦定理，得a2b，b2c2，bc，ABC为等边三角形.规律方法题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断.跟踪演练3在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状.解方法一根据余弦定理得b2a2c22accosB.B60，2bac，2a2c22accos60，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2a，即ba.ABC是正三角形.方法二根据正弦定理，2bac可转化为2sinBsinAsinC.又B60，AC120.C120A，2sin60sinAsin (120A)，整理得sin (A30)1，0A120，30A300)则有cosC.2.在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是 ()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案C解析2cosBsinAsinC，2ac，ab.故ABC为等腰三角形.3.在ABC中，BCa，ACb，a、b是方程x22x20的两根且2cos(AB)1，则AB.答案解析设ABc，cosC.又cosC，c210，c，即AB.4.在ABC中，若B30，AB2，AC2，则满足条件的三角形有几个？解设BCa，ACb，ABc，由余弦定理，得b2a2c22accosB，22a2(2)22a2cos30，即a26a80，解得a2或a4.当a2时，三边为2,2,2可组成三角形；当a4时，三边为4,2,2也可组成三角形.满足条件的三角形有两个.1.已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.一、基础达标1.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段()A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形答案B解析因三角形最大边对应的角的余弦值cos0，所以能组成锐角三角形.2.在ABC中，AB5，AC3，BC7，则等于()A.B.C.D.15答案B解析cosA，|cosA53，故选B.3.如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定答案A解析设直角三角形三边为a，b，c，且a2b2c2，则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20，最大边cx所对的最大角为锐角.4.已知a，b，c为ABC的三边，B120，则a2c2acb2等于()A.0B.1C.1D.2答案A解析b2a2c22accosBa2c22accos120a2c2ac.a2c2acb20.5.在ABC中，若a2b2bc，sinC2sinB，则A.答案30解析由sinC2sinB，根据正弦定理，得c2b，代入a2b2bc，得a2b26b2，即a27b2.由余弦定理得cosA，又0A0，0A180，0Aa，cb，角C最大.由余弦定理，得c2a2b22abcosC，即3791624cosC，cosC，0C0，a，最大边为2a1.三角形为钝角三角形，a2(2a1)2(2a1)2化简得0a2a1，a2，2a8.11.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinAcsinCasinCbsinB.(1)求B；(2)若A75，b2，求a，c.解(1)由正弦定理，题中等式等价于为a2c2acb2，由余弦定理得b2a2c22accosB，故cosB.由于0B180因此B45.(2)sinAsin (3045).故a1，c2.12.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)当a2,2sinAsinC时，求b及c的长.解(1)cos2C12sin2C，0C，sinC.(2)当a2,2sinAsinC时，由正弦定理，得c4.由cos2C2cos2C1及0C0)，解得b或2，或三、探究与创新13.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知.(1)求角B的大小；(2)设Tsin2Asin2Bsin2C，求T的取值范围.解(1)在ABC中，因为sinC0，所以sinBcosC2sinAcosBsinCcosB，所以2sinAcosBsinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA，因为sinA0，所以cosB，又因为0B，所以B.(2)Tsin2Asin2Bsin2C(1cos2A)(1cos2C)(cos2Acos2C)cos2Acos(2A)(cos2Asin2A)cos(2A).因为0A，所以02A，故2A，因此1cos(2A)，所以T.所以T的取值范围是(，
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