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第8课时抛物线的简单几何性质基础达标(水平一 )1.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,点F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆与抛物线C的准线相交于不同两点,则y0的取值范围是().A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p=4,根据题意,只要满足|FM|4即可.由抛物线定义知,|FM|=y0+2.由y0+24,解得y02,故y0的取值范围是(2,+).【答案】C2.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是().A.11.25 cmB.5.625 cmC.20 cmD.10 cm【解析】如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为y2=2px(p0),则点A(40,30).302=2p40,p=454,y2=452x.光源到反光镜顶点的距离为p2=12454=458=5.625(cm).【答案】B3.抛物线y2=2x的焦点为F,其准线经过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点,点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=2,则双曲线的离心率为().A.102B.2C.5D.52【解析】点F12,0,准线l:x=-12,由题意知a=12.由抛物线的定义知,xM-12=2,xM=32,yM2=3.点(xM,yM)在双曲线上,9414-3b2=1,b2=38,c2=a2+b2=58,e2=c2a2=584=52,e=102.【答案】A4.已知点O为坐标原点,点F为抛物线y2=4x的焦点,点A是抛物线上一点,若OAAF=-4,则点A的坐标是().A.(1,2)B.(4,4)C.(1,2)或(1,-2)D.(4,4)或(4,-4)【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0),设点Ay024,y0,则OA=y024,y0,AF=1-y024,-y0.由OAAF=-4,得y0=2,所以点A的坐标是(1,2)或(1,-2).【答案】C5.对标准形式的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程y2=10x的是.(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y2=10x的焦点在x轴上,不满足,满足;设M(1,y0)是抛物线y2=10x上的一点,F为抛物线的焦点,则|MF|=1+p2=1+52=726,所以不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为52,0,过该焦点的直线方程为y=kx-52,若由原点向该直线作垂线,垂足坐标为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以满足.【答案】6.设过点P(-2,4)且倾斜角为135的直线l与抛物线C:y2=2px(p0)相交于A,B两点,若|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,则抛物线C的方程为.【解析】直线l的方程为y=-x+2,联立y=-x+2和y2=2px,消去x,得y2+2py-4p=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2p,y1y2=-4p.由P,A,B三点共线,且|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,则|y1-4|,|y1-y2|,|y2-4|也成等比数列,得|(y1-4)(y2-4)|=|y1-y2|20,则|y1y2-4(y1+y2)+16|=(y1+y2)2-4y1y2,且y1y2,即|p+4|=p2+4p,且=(2p)2-4(-4p)=4p2+16p0,解得p=1.所求抛物线的方程为y2=2x.【答案】y2=2x7.在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(0,-2),动点P(x,y)满足PAPB-y2+8=0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设(1)中所求的轨迹与直线y=x+2交于C,D两点,求证:OCOD(O为坐标原点).【解析】(1)由题意,可知PA=(-x,4-y),PB=(-x,-2-y),x2+(4-y)(-2-y)-y2+8=0,整理得x2=2y,动点P的轨迹方程为x2=2y.(2)由y=x+2,x2=2y,整理得x2-2x-4=0,x1+x2=2,x1x2=-4.kOCkOD=y1x1y2x2=(x1+2)(x2+2)x1x2=x1x2+2(x1+x2)+4x1x2=-4+4+4-4=-1,OCOD.拓展提升(水平二)8.已知点M在抛物线y2=6x上,N为抛物线的准线l上的一点,F为抛物线的焦点,若FN=MF,则直线MN的斜率为().A.2B.1 C.2D.3【解析】由题设可知点M,N,F三点共线,且点F是线段MN的中点,不妨设点M(x0,y0)(y00),F32,0,则x0=92,y0=-t.又点M(x0,y0)在抛物线上,所以y02=6x0,即y0=-33,所以t=33.故直线MN的斜率k=-3.设y00,则t0,同理可得MN的斜率k=3,故选D.【答案】D9.已知点A(1,2)在抛物线C:y2=4x上,过点A作两条直线分别交抛物线于D,E两点,直线AD,AE的斜率分别为kAD,kAE,若直线DE过点P(-1,-2),则kADkAE=().A.4B.3C.2D.1【解析】设点D(x1,y1),E(x2,y2),则kAD=y1-2x1-1,kAE=y2-2x2-1,kADkAE=y1-2x1-1y2-2x2-1=y1y2-2(y1+y2)+4x1x2-(x1+x2)+1,设直线DE:y+2=k(x+1),联立方程y2=4x,y+2=k(x+1),消去x,可得ky2-4y+4k-8=0.y1+y2=4k,y1y2=4k-8k.x1+x2=y1+y2+4-2kk=4+4k-2k2k2,x1x2=(y1y2)216=k2-4k+4k2,代入可得kADkAE=4k-8k-24k+4k2-4k+4k2-4+4k-2k2k2+1=2.【答案】C10.已知南北方向有条公路L,A地在公路正东2 km处,B地在A地北偏东60方向23 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物.经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是万元.【解析】如图所示,由题意知,曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,根据抛物线的定义,知欲求M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B点到准线L的距离即可.B地在A地北偏东60方向23 km处,B点到抛物线L的距离为23sin 60+2=5(km),修建这两条公路的总费用最低为5a万元.【答案】5a11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,(1)若直线l过点M(4,0),且点F到直线l的距离为2,求直线l的方程.(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB中点的横坐标为2.求证:线段AB的垂直平分线恰过定点.【解析】(1)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4),由已知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),因为点F到直线l的距离为2,所以|3k|1+k2=2,解得k=255,所以直线l的斜率为255.所以直线l的方程为y=255(x-4).(2)设A,B两点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB不与x轴垂直,所以设直线AB的方程为y=kx+b,联立方程y2=4x,y=kx+b,消去y,得k2x2+(2bk-4)x+b2=0,x1+x2=4-2bkk2,又因为线段AB中点的横坐标为2,所以4-2bkk2=4,整理得b=2-2k2k.由线段AB中点的坐标为(2,2k+b),得线段AB的垂直平分线的方程为y-(2k+b)=-1k(x-2),()将b=2-2k2k代入方程(),整理得x+ky-4=0,显然过定点(4,0).所以线段AB的垂直平分线恰过定点(4,0).
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