2018-2019学年高中数学 第八章 解三角形 8.3 解三角形的应用举例（一）学案 湘教版必修4.doc

8.3解三角形的应用举例(一)学习目标1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.2.会利用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决与方位角有关的距离问题.知识链接在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角.(如图所示)(2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即itan (i为坡比，为坡角).(3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线.预习导引1.方位角从指正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角，叫做方位角.2.方向角指北或指南的方向线与目标线所成的小于90的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式.要点一正弦、余弦定理在航海中的应用例1如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosA(1)2222(1)2cos1206.BC海里.又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶.又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15分钟.缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.规律方法航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.跟踪演练1甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，BCat海里，ACat海里，B9030120，由得：sinCAB.0CAB90，CAB30.DAC603030.所以甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇.要点二正弦、余弦定理在测量距离中的应用例2某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解如图所示，易知CAD253560，在BCD中，cosB，所以sinB.在ABC中，AC24(千米).由BC2AC2AB22ACABcosCAB得AB224AB3850，解得AB35或AB11(舍去).ADABBD15(千米).故此人在D处距A还有15千米.规律方法由问题中的有关量提炼出三角形中的元素，用正弦、余弦定理解三角形.跟踪演练2已知A船在灯塔C北偏东80方向，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40方向，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为_km.答案1解析如图，由题意可得ACB120，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理可得：AB2BC2AC22BCACcos120，即3222x222xcos120，整理得x22x5，解得x1.1.已知两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观测站C的北偏东40，灯塔B在观测站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10答案B解析如下图，因ABC为等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010，故选B.2.一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观测灯塔，其方向是南偏东70，在B处观测灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A.10nmileB.10nmileC.20nmileD.20nmile答案A解析如图所示，由已知条件可得，CAB30，ABC105，AB4020(nmile).BCA45.由正弦定理可得.BC10(nmile).3.某人向正东方向行走了xkm后，向右转150，然后再走3km，此时与出发点恰好相距km，则x_.答案或2解析如图，由题意知，ABxkm，BC3km，ACkm，ABC30，由余弦定理得：()2x23223xcos30，即x23x60，解得x或x2.4.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos的值.解在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos1202800，BC20由正弦定理，sinACBsinBAC.BAC120，则ACB为锐角，cosACB.coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.1.在解三角形时，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.一、基础达标1.海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是()A.10nmileB.nmileC.5nmileD.5nmile答案D解析由题意知，在ABC中AB10，A60，B75，则C180AB45.由正弦定理，得BC5(nmile).2.如图，一客轮以速率2v由A至B再到C匀速航行，一货船从AC的中点D出发，以速率v沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知ABBC，ABBC50海里，若两船同时出发，则两船相遇之处M距C点的距离为()A.海里B.海里C.25海里D.10海里答案A解析由题意知，M在BC上，设DMx，则CM1002x，在CDM中，由余弦定理得：x2(25)2(1002x)2225(1002x)cos45，解得x50，CM.3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30，看正南方向有一只船俯角为45，则此时两船间的距离为()A.2h米B.h米C.h米D.2h米答案A解析如图所示，BCh，ACh，AB2h (米).4.甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A.6kmB.3kmC.3kmD.3km答案C解析由题意知，AB246(km)，BAS30，ASB753045.由正弦定理，得BS3(km).5.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60，则A处与D处之间的距离为_nmile；灯塔C与D处之间的距离为_nmile.答案248解析(1)在ABD中，由已知得ADB60，B45；由正弦定理得AD24；(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos30，解得CD8.所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为8nmile.6.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距anmile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶多少nmile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设CAB，乙船行驶距离BC为xnmile，则ACxnmile，由正弦定理得sin，而60，30，即ACB30，ABBCa，从而BCa (nmile).答甲船应沿北偏东30方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了anmile.7.某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以10海里/时的速度行驶，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.解如图所示，设舰艇与渔船在B处相遇时所用时间为t小时，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos120，可得(10t)2102(10t)221010tcos120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去).即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB10，BC10，在ABC中，由正弦定理得，所以sinCAB，所以CAB30，所以舰艇航行的方位角为75.二、能力提升8.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的时间为()A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h答案B解析设A地东北方向上点P到B的距离为30km，APx，在ABP中，PB2AP2AB22APABcosA，即302x24022x40cos45，化简得x240x7000.设该方程的两根为x1，x2，则|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，故t1.故选B.9.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100m，则山高MN_m.答案150解析根据图示，AC100m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100m.在AMN中，sin60，MN100150(m).10.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_km.答案30解析如图，由已知条件，得AC60km，BAC30，ACB105，ABC45.由正弦定理BC30(km).11.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60相距20(1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(1)小时后开始影响基地持续2小时.求台风移动的方向.解如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD20，AC20.由题意AB20(1)，DC20，BC(1)10.在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90，ADC45.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.BAC30，又B位于A南偏东60，603090180，D位于A的正北方向，又ADC45，台风移动的方向为向量的方向.即北偏西45方向.所以台风向北偏西45方向移动.12.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(1)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时).答救援船到达D点需要1小时.三、探究与创新13.如图所示，A，B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9海里的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里的速度离开B岛向南偏东60方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.解如图，行驶th后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处.当9t21，即t3(海里).当t时，BC(9t21)(海里)，则CD2(9t21)2(6t)22(9t21)6tcos6063t2252t44163(t2)2189189.综上可知t2时，CD取得最小值3.答行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3海里.