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第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1i是虚数单位，计算ii2i3()A1B1Ci Di解析：ii2i3i(1)i1.答案：A2已知i为虚数单位，复数z，则复数z的虚部是()Ai BC. i D.解析：i，则复数z的虚部是.答案：B3如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BBCC DD解析：设zabi(a0)abi对应点的坐标是(a，b)，是第三象限点B.答案：B4i是虚数单位，复数z的共轭复数()A1i B1iC.i Di解析：z1i1i.答案：B5若复数z(1i)(xi)(xR)为纯虚数，则|z|等于()A2 B.C. D1解析：zx1(x1)i为纯虚数且xR，得x1，z2i，|z|2.答案：A6已知复数z134i，z2ti，且z12是实数，则实数t等于()A. B.C D解析：z12(34i)(ti)(3t4)(4t3)i，依题意4t30，t.答案：A7设zC，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在()A实轴上 B虚轴上C直线yx(x0)上 D以上都不对解析：设zabi(a，bR)，z2a2b22abi为纯虚数，ab，即z在直线yx(x0)上答案：C8定义运算adbc，则符合条件42i的复数z为()A3i B13iC3i D13i解析：由定义知ziz，得ziz42i，z3i.答案：A9若复数x01i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个根，则()Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c1解析：因为1i是实系数方程的一个复数根，所以1i也是方程的根，则1i1i2b，(1i)(1i)3c，解得b2，c3.答案：B10已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若(，R)，则的值是()A1 B2C3 D4解析：34i(12i)(1i)(2)i，得1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)11设i为虚数单位，则_.解析：.答案：12已知复数z1cos 23sin 23i和复数z2sin 53sin 37i，则z1z2_.解析：z1z2(cos 23sin 23i)(sin 53sin 37i)(cos 23sin 53sin 23sin 37)(sin 23sin 53cos 23sin 37)i(cos 23sin 53sin 23cos 53)i(sin 23sin 53cos 23cos 53)sin 30i cos 30i.答案：i13已知复数zabi(a，bR)且，则复数z_.解析：a，bR且，即，5a5ai2b4bi155i，即解得故zabi710i.答案：710i14. 复数z(m23m2)(m22m8)i的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m的取值范围是_解析：复数z(m23m2)(m22m8)i的共轭复数为(m23m2)(m22m8)i，又在复平面内对应的点在第一象限，得解得2m1或2m4.答案：(2,1)(2,4)15若复数z12i，其中i是虚数单位，则_.解析：z12i，知12i则z1(12i)(12i)16.答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)16(12分)实数k为何值时，复数z (k23k4)(k25k6)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k25k60，即k6或k1时，z是实数(2)当k25k60，即k6且k1时，z是虚数(3)当即k4时，z是纯虚数(4)当即k1时，z是0.17(12分)已知复数z的共轭复数为，且z3iz，求z.解析：设zabi(a，bR)，则abi.又z3iz，所以a2b23i(abi)，所以a2b23b3ai13i，所以所以或所以z1，或z13i.18(12分)已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围解析：设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i，由z2i为实数，得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由为实数，得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2a6.实数a的取值范围是(2,6)19(12分)已知复数z1满足(1i)z115i，z2a2i，其中i为虚数单位，aR，若|z12|z1|，求a的取值范围解析：z123i，z2a2i，2a2i，|z12|(23i)(a2i)|4a2i| ，又|z1|，|z12|z1|， ，a28a70，解得1a0且时，证明该方程没有实数根解析：(1)将x1i代入1，化简得i1，解得ab2.(2)原方程化为x2axab0，假设原方程有实数解，那么(a)24ab0，即a24ab.a0，这与题设相矛盾故原方程无实数根21(14分)复数z且|z|4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值解析：z(abi)2a2bi.由|z|4得a2b24，复数0，z，对应的点构成正三角形，|z|z|.把z2a2bi代入化简得a23b2，代入得，|b|1.又Z点在第一象限，a0，b0.由得故所求值为a，b1.
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