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1.3.1二项式定理学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1二项式定理(ab)nCanCan1bCan2b2CankbkCbn(nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有n1项(3)二项式系数：各项的系数C(k0,1,2，n)叫做二项式系数2二项展开式的通项公式(ab)n展开式的第k1项叫做二项展开式的通项，记作Tk1Cankbk.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关思考2：二项式(ab)n与(ba)n展开式中第k1项是否相同？提示不同(ab)n展开式中第k1项为Cankbk，而(ba)n展开式中第k1项为Cbnkak.基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()(3)Cankbk是(ab)n展开式中的第k项()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()解析(1)因为(ab)n展开式中共有n1项(2)因为二项式的第k1项Cankbk和(ba)n的展开式的第k1项Cbnkak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的(3)因为Cankbk是(ab)n展开式中的第k1项(4)因为(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数都是C.答案(1)(2)(3)(4)2(x1)n的展开式共有11项，则n等于() 【导学号：95032072】A9B10C11 D12B由二项式定理的公式特征可知n10.3(y2x)8展开式中的第6项的二项式系数为()AC BC(2)5CC DC(2)6C由题意可知：Tk1Cy8k(2x)kC(2)kxky8k当k5时，二项式系数为C.4化简：(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1_. 【导学号：95032073】x4(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1(x1)14x4合 作 探 究攻 重 难二项式定理的正用和逆用(1)求的展开式(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.思路探究(1)解答本题先将看成a，看成b，利用二项式定理展开，也可以先将化简后再展开(2)可先把x1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解解(1)法一：C()4C()3C()2CCx22x.法二：(2x1)4(16x432x324x28x1)x22x.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.规律方法 二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(ab)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2)逆用：将展开式合并成二项式(ab)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律跟踪训练1(1)求二项式的展开式；(2)化简(x2)55(x2)410(x2)310(x2)25(x2)解(1)C(3)4C(3)3C(3)2C(3)C81x2108x54.(2)原式C(x2)5C(x2)4C(x2)3C(x2)2C(x2)C(x2)01(x2)151(x1)51.二项展开式通项的应用已知二项式(1)求展开式第4项的二项式系数，(2)求展开式第4项的系数，(3)求第4项. 【导学号：95032074】思路探究利用二项式定理的展开式中某一项解由已知得的展开式的通项是Tk1C(2)6kC26k(1)kx (k0,1,2，6)(1)展开式第4项的二项式系数为C20.(2)展开式第4项的系数为C23(1)3160.(3)展开式的第4项为T4160x.规律方法(1)二项式系数都是组合数C(k0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念(2)第k1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(12x)7的展开式中，第四项是T4C173(2x)3，其二项式系数是C35，而第四项的系数是C23280.跟踪训练2已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数解(1)因为T3C()n24Cx，T2C()n12Cx，依题意得4C2C162，所以2CC81，所以n281，n9.(2)设第k1项含x3项，则Tk1C()9k(2)kCx，所以3，k1，所以第二项为含x3的项：T22Cx318x3.二项式系数为C9.求展开式中的特定项探究问题1如何求展开式中的常数项提示利用二项展开式的通项Cx4kCx42k求解，令42k0，则k2，所以展开式中的常数项为C6.2(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？提示(ab)(cd)展开式中的各项都是由ab中的每一项分别乘以cd中的每一项而得到3如何求(2x1)3展开式中含x的项？提示(2x1)3展开式中含x的项是由x中的x与分别与(2x1)3展开式中常数项C1及x2项C22x212x2分别相乘再把积相加得xCC(2x)2x12x13x.即(2x1)3展开式中含x的项为13x.已知在的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项. 【导学号：95032075】思路探究解通项公式为：Tr1Cx (3)rxC(3)rx.(1)第6项为常数项，r5时，有0，即n10.(2)令2，得r(106)2，所求的系数为C(3)2405.(3)由题意得，令k(kZ)，则102r3k，即r5k.rZ，k应为偶数，k2,0，2，即r2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(3)2x2，C(3)5，C(3)8x2.即405x2，61 236,295 245x2.规律方法1求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，TkCank1bk1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪训练3(1)在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是_(2)若展开式的常数项为60，则常数a的值为_(1)207(2)4(1)x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与1，x3相乘的结果，其系数为CC(1)207.(2)的展开式的通项是Tk1Cx6k()kx2kCx63k()k，令63k0，得k2，即当k2时，Tk1为常数项，即常数项是Ca，根据已知得Ca60，解得a4.当 堂 达 标固 双 基1(x)10展开式中x6项的二项式系数为()ACBCC4C D4CB含x6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C.2(12x)5的展开式中，x2的系数等于() 【导学号：95032076】A80 B40C20 D10B(12x)5的展开式的通项为Tr1C(2x)r2rCxr，令r2，得22C41040，故选B.3在的展开式中，中间项是_160x3由n6知中间一项是第4项，因为T4C(2x2)3C(1)323x3，所以T4160x3.4在的展开式中，第4项的二项式系数是_，第4项的系数是_84Tk1C(x2)9kCx183k，当k3时，T4Cx9x9，所以第4项的二项式系数为C84，项的系数为.5求的展开式的第三项的系数和常数项. 【导学号：95032077】解T3C(x3)3Cx5，所以第三项的系数为C.通项Tk1C(x3)5kCx155k，令155k0，得k3，所以常数项为T4C(x3)2.
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