2018年秋高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 角度问题学案 新人教A版必修5.doc

第2课时角度问题学习目标：1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点).2.会将实际问题转化为解三角形问题(难点).3.能根据题意画出几何图形(易错点)自 主 预 习探 新 知1方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角如点B的方位角为(如图1218所示)图1218方位角的取值范围：0，360)2视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图1219所示，视角50指的是观察该物体的两端视线张开的角度图1219思考：方位角的范围为什么不是(0，)?提示方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是0,2)基础自测1思考辨析(1)如图1220所示，该角可以说成北偏东110.()图1220(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.()(3)方位角210的方向与南偏西30的方向一致()答案(1)(2)(3)提示：(1)说成南偏东70或东偏南20.(2)方位角的范围是0,2)2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系是() 【导学号：91432060】ABC90 D180B由仰角与俯角的水平线平行可知.3在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70，则BAC等于()A10 B50C120 D130D如图所示：BAC130.4某人从A处出发，沿北偏东60行走3公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处，则A、C两地的距离为_公里. 【导学号：91432061】7如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理得AC2274232cos 15049，AC7.所以A、C两地的距离为7公里合 作 探 究攻 重 难角度问题(1)如图1221，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的 ()图1221A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是() 【导学号：91432062】A.，60 B.，60C.，30 D.，30(1)D(2)B(1)由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB10 m，CD6 m，高DE2 m，则AE2 m，tan DAE，DAE60.规律方法测量角度问题画示意图的基本步骤跟踪训练1在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_km/h.6020如图，AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200，故OC20，COY303060.求航向的角度在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路探究：你能根据题意画出示意图吗？在ABC中，能求出BC与ABC吗？在BCD中，如何求出BCD?解设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206，BC，且sinABCsinBAC，ABC45，BC与正北方向成90角CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船规律方法1测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解2在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角但角在上时，用正、余弦定理皆可跟踪训练2甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile? 【导学号：91432063】解如图所示，设两船在C处相遇，并设CAB，乙船行驶距离BC为x n mile，则ACx，由正弦定理得sin ，而1510，所以此人在C点能与投递员相遇如图1222，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船沿南偏东度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船问用多少小时追上乙船，并求sin 的值(结果保留根号，无需求近似值) 【导学号：91432064】图1222思路探究：根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决解设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC1801545120，由余弦定理得，(28t)281(20t)22920t，即128t260t270，解得t或t(舍去)，AC21(海里)，BC15(海里)根据正弦定理，得sinBAC，则cosBAC.又ABC120，BAC为锐角，45BAC，sin sin(45BAC)sin 45cosBACcos 45sin BAC.母题探究：(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度解设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在ABC中，AC28t，BCxt，CAB30，ABC135.由正弦定理得，即.所以x14(海里每小时)故乙船的速度为14海里每小时规律方法解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.当 堂 达 标固 双 基1在某测量中，设A在B的南偏东3427，则B在A的() 【导学号：91432065】A北偏西3427B北偏东5533C北偏西5533 D南偏西3427A由方向角的概念，B在A的北偏西3427.2如图1223所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()图1223A北偏东5 B北偏西10 C南偏东5 D南偏西10 B由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10.3如图1224所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从D，C两点测得A点仰角分别为，()，则点A离地面的高度AB等于()图1224A. B. C. D.A结合图形可知DAC.在ACD中，由正弦定理得，AC.在RtABC中，ABACsin .4如图1225所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos 等于() 【导学号：91432066】图1225A. B.C.1 D.1C在ABC中，由正弦定理，AC100.在ADC中，cos sin(90)1.5如图1226，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离图1226解因为AB40，BAP120，ABP30，所以APB30，所以AP40，所以BP2AB2AP22APABcos 120402402240404023，所以BP40.又PBC90，BC80，所以PC2BP2BC2(40)280211 200，所以PC40海里