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第2讲综合大题部分1. (2017高考全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得i9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2，16.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(3Z3)0.997 4,0.997 4160.959 2，0.09.解析：(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0.002 6，故XB(16,0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X的数学期望为E(X)160.002 60.041 6.(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的由9.97，s0.212，得的估计值为9.97，的估计值为0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为(169.979.22)10.02，因此的估计值为10.02.160.2122169.9721 591.134，剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估计值为0.09.2(2018高考全国卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表.超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2，解析：(1)第二种生产方式的效率更高理由如下：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟因此第二种生产方式的效率更高由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟因此第二种生产方式的效率更高由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于80分钟因此第二种生产方式的效率更高由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少因此第二种生产方式的效率更高(以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)(2)由茎叶图知m80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)因为K2106.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异3(2017高考全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解析：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，因此只需考虑200n500.当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n.因此EY2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当200n3.841，故有95%以上的把握认为关注“星闻”与性别有关(3)由题意可得，从被调查的男大学生中抽取一位关注“星闻”的男大学生的概率为，不关注“星闻”的概率为.的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(0)()4；P(1)C()3；P(2)C()2()2；P(3)C()3；P(4)()4.所以的分布列为01234P因为B(4，)，所以E().2某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对15号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需说出这首歌的名字，若回答正确，则大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，且选手可自由选择是带着目前的奖金离开，还是继续挑战以获得更多的梦想基金；若回答错误，则游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零整个游戏过程中，选手有一次求助机会，可以询问亲友团成员以获得答案.15号门对应的家庭梦想基金依次为3 000元、6 000元、8 000元、12 000元、24 000元(以上基金金额为打开大门后的累计金额，如3号门打开，选手可获基金的总金额为8 000元)设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi(i1,2,3,4,5)，亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为0.2，该选手正确回答每一扇门的歌曲名字后选择继续挑战的概率均为0.5.(1)求选手在2号门使用求助且最终获得8 000元家庭梦想基金的概率；(2)若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金金额为X，求X的分布列和数学期望解析：设“该选手回答正确i号门的歌曲名称”为事件Ai(i1,2,3,4,5)，“使用求助回答正确歌曲名称”为事件B，“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件C，依题意得，P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，P(A5)，P(B)，P(C).(1)设事件“选手在2号门使用求助且最终获得8 000元家庭梦想基金”为事件A，则P(A)P(A1CBCA3)(1)(1)，所以选手在2号门使用求助且最终获得8 000元家庭梦想基金的概率为.(2)X的所有可能取值为0,3 000,6 000,8 000，12 000，24 000.P(X3 000)P(A1)，P(X6 000)P(A1CA2)，P(X8 000)P(A1CA2CA3)，P(X12 000)P(A1CA2CA3CA4)，P(X24 000)P(A1CA2CA3CA4CA5)，P(X0)1P(X3 000)P(X6 000)P(X8 000)P(X12 000)P(X24 000)1.所以X的分布列为X03 0006 0008 00012 00024 000P所以E(X)03 0006 0008 00012 00024 0001 2501 0005002502503 250.3为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0(精确到个位)；(2)研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布N(u，2)(uu0，约为19.3)，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%.估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分(精确到个位)?从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y，求Y的分布列及数学期望E(Y)说明：P(Xx1)1()表示Xx1的概率参考数据：(0.725 7)0.6，(0.655 4)0.4解析：(1)该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：u0650.05750.08850.12950.151050.241150.181250.11350.051450.03103.2103.(2)记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为x1，根据题意，P(xx1)1()1()0.4，即()0.6.由(0.725 7)0.6，得0.725 7x1117.0117，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分因为YB(4，)，所以P(Yi)C()i()4i，i0,1,2,3,4.所以Y的分布列为Y01234P所以E(Y)4.
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