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习题课正弦定理与余弦定理学习目标1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解决各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问题.预习导引1.三角形内角的函数关系在ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，则有(1)sin (AB)sinC，cos (AB)cosC，tan (AB)tanC.(2)sincos，cossin.2.正弦定理及其变形(1)2R.(2)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.3.余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccosA，cosA.(2)在ABC中，c2a2b2C为直角，c2a2b2C为钝角；c2a2b2C为锐角.要点一解三角形例1在ABC中，若ccosBbcosC，且cosA，求sinB的值.解由ccosBbcosC，结合正弦定理得，sinCcosBsinBcosC，故sin (BC)0，易知BC，故bc.因为cosA，所以cosA，得3a22b2，所以ab.所以cosB，故sinB.规律方法正弦、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择.跟踪演练1在ABC中，已知b2ac，且a2c2acbc.(1)求A的大小；(2)求的值.解(1)由已知b2accosA，A(0，)，A.(2)由b2ac，得，sinBsinBsinA.要点二正弦、余弦定理与三角变换的综合例2在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2cos2A. (1)求A的度数. (2)若a，bc3，求b和c的值.解(1)由4sin2cos2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2A1，4(1cosA)4cos2A5，即4cos2A4cosA10，(2cosA1)20，解得cosA.0A180，A60.(2)由余弦定理，得cosA.cosA，化简并整理，得(bc)2a23bc，所以32()23bc，即bc2.则由解得或规律方法本题解题关键是通过三角恒等变换借助于ABC180，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组.跟踪演练2在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2c2b2ac.求2sin2sin2B的值.解由已知，所以cosB，又B(0，)，所以sinB，所以2sin2sin2B2cos2sin2B1cosB2sinBcosB12.要点三正弦、余弦定理与平面向量的综合例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB，且21.(1)求ABC的面积；(2)若a7，求角C.解(1)21，21.|cosBaccosB21.ac35，cosB，sinB.SABCacsinB3514.(2)ac35，a7，c5.由余弦定理b2a2c22accosB32，b4.由正弦定理：.sinCsinB.cb且B为锐角，C一定是锐角.C45.规律方法这是一道向量与正弦、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系.跟踪演练3ABC的三个内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sinC)，n(ac，sinBsinA)，若mn，则角B的大小为.答案150解析mn，(ab)(sinBsinA)sinC(ac)0，由正弦定理有(ab)(ba)c(ac)，即a2c2b2ac，再由余弦定理，得cosB，B(0，)，B150.1.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinBb，则A()A.B.C.D.答案D解析由正弦定理，得2sinAsinBsinB，即sinA，因三角形为锐角三角形，所以A.2.在ABC中，若c2acosB，则ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案C解析c2acosB，由正弦定理得2cosBsinAsinCsin (AB)，sinAcosBcosAsinB0，即sin (AB)0，AB.3.在ABC中，AB3，AC2，BC，则.答案解析根据余弦定理，cosA.32.4.在ABC中，cosB，b2ac0，则ABC的形状为三角形.答案等边解析cosB，0B180，B60.b2a2c22accosBa2c2acac，a2c22ac0，(ac)20.ac.ABC为等边三角形.1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等).2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.3.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解.一、基础达标1.在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围是()A.1c3B.2c3C.c3D.2ca2b2145，即c，又因为cab123，所以c3.2.若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A.B.84C.1D.答案A解析由(ab)2c24得a2b2c22ab4，由余弦定理得a2b2c22abcosC2abcos60ab，将代入得ab2ab4，所以ab.3.设ABC的内角，若bcosCccosBasinA, 则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B解析因bcosCccosBasinA，由正弦定理，得sinBcosCsinCcosBsinAsinA.即sin(BC)sin2A，所以sinAsinAsinA，所以sinA1，A.故选B.4.在ABC中，若a7，b8，cosC，则最大角的余弦是()A.B.C.D.答案C解析c2a2b22abcosC9，c3，B为最大角，cosB.5.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若(abc)(sinAsinBsinC)3asinB，则C()A.30B.60C.120D.150答案B解析根据正弦定理，由已知条件可得(abc)(abc)3ab，即a2b2c2ab，再根据余弦定理有cosC，故C60.6.已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是.答案(，)解析x满足：解得xb，则B等于()A.B.C.D.答案A解析由正弦定理，得sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB，因为sinB0.即sinAcosCsinCcosA，sin(AC)，即sinB，ab，B.9.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B2A，a1，b，则c()A.2B.2C.D.1答案B解析由正弦定理得：.所以cosA，A30，B60，C90，所以c2a2b24，所以c2.10.在ABC中，若lgalgclgsinAlg，并且A为锐角，则ABC为三角形.答案等腰直角解析lgalgclgsinAlg，sinA，A为锐角，A45，sinCsinAsin451，C90.11.如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，求sinC的值.解设BDa，则BC2a，ABADa.在ABD中，由余弦定理，得cosA.又A为ABC的内角，sinA.在ABC中，由正弦定理得，sinCsinA.12.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinAsinCpsinB(pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围.解(1)由题设并由正弦定理，得acpb，所以ac.由解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accosB(ac)22ac2accosBp2b2b2b2cosB，即p2cosB.因为0cosB0，所以p.三、探究与创新13.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2ac且cosB.(1)求的值；(2)设，求ac的值.解(1)由cosB，且B(0，)，得sinB.由b2ac及正弦定理得sin2BsinAsinC.于是.(2)由得cacosB，由cosB，可得ca2，即b22.由余弦定理b2a2c22accosB，得a2c2b22accosB5，(ac)2a2c22ac549，ac3.
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