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12.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”读教材填要点1联结词“非”设p是一个命题，用联结词“非”对命题p作全盘否定，得到新命题，记作綈p，读作“非p”或“不是p”2联结词“且”用联结词“且”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作pq，读作“p且q”3联结词“或”用联结词“或”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作pq，读作“p或q”4含有逻辑联结词的命题的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真小问题大思维1逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？提示：有所不同日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思2“或”“且”联结词的否定形式分别是什么？提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”3命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？提示：命题“綈p”与“否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论如：若命题p为“若s，则t”，则綈p：若s，则綈t，否命题：若綈s，则綈t.逻辑联结词“非” 写出下列命题的否定，并判断它们的真假(1)p：346；(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；(3)p：不等式x23x20的解集是x|1x2自主解答(1)346是一个简单命题，“”的否定即是“”，所以“非p”：346.由于p是真命题，故命题“非p”是假命题(2)命题是一个“pq”形式的命题，其否定为“(綈p)(綈q)”的形式，所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家由于p是真命题，故命题“非p”是假命题(3)“非p”：不等式x23x20的解集不是x|1x2由于p是假命题，故命题“非p”是真命题若将例1(2)中的“或”改为“且”，如何解答？解：綈p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家，由于p是假命题，故命题綈p是真命题写“非p”应先弄清p的条件与结论另外，要注意改变原命题的真假，一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定如“等于”的否定是“不等于”，“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”1写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假(1)若a，b都是奇数，则ab是偶数；(2)全等的三角形是相似三角形解：原命题的否定：(1)若a，b都是奇数，则ab不是偶数，为假命题(2)全等三角形不是相似三角形，为假命题原命题的否命题：(1)若a，b不都是奇数，则ab不是偶函数，为假命题(2)不全等的三角形不是相似三角形，为假命题逻辑联结词“且” 对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断它们的真假(1)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；(2)p：3，q：4或44”，其中“44”是真命题，所以“44”是真命题(2)命题“仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形”是“pq”形式的命题，其中p：仅有一组对边平行的四边形是梯形，q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形因为p真q假，所以pq为真，故原命题是真命题解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路设有两个命题命题p：不等式x2(a1)x10的解集是；命题q：函数f(x)(a1)x在定义域内是增函数如果pq为假命题，pq为真命题，求a的取值范围巧思因为pq为假命题，pq为真命题，故p和q必有一真一假因此可先求出p，q为真命题时a的取值范围，然后分“p真q假”“p假q真”两种情况即可求出a的取值范围妙解对于p：因为不等式x2(a1)x10的解集是，所以(a1)240.解不等式得：3a1，所以a0.又pq为假命题，pq为真命题，所以p，q必是一真一假当p真q假时有30，ln(x1)0；命题q：若ab，则a2b2.下列命题为真命题的是()ApqBp綈qC綈pqD綈p綈q解析：当x0时，x11，因此ln(x1)0，即p为真命题；取a1，b2，这时满足ab，显然a2b2不成立，因此q为假命题由复合命题的真假性，知B为真命题答案：B4已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，则pq是_，pq是_，綈p是_解析：pq：6是12和24的约数；pq：6是12或24的约数；綈p：6不是12的约数答案：6是12和24的约数6是12或24的约数6不是12的约数5命题p：0不是自然数，命题q：是无理数，则在命题“p且q”“p或q”“非p”“非q”中真命题是_，假命题是_解析：显然p为假命题，q是真命题，故“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，“非p”为真命题，“非q”为假命题答案：p或q, 非pp且q，非q6对命题p：1是集合x|x2a中的元素；q：2是集合x|x2a中的元素，则a为何值时，“p或q”为真？a为何值时，“p且q”为真？解：若p为真，则1x|x2a，所以121；若q为真，则2x|x24.若“p或q”为真，则a1或a4，即a1；若“p且q”为真，则a1且a4，即a4.一、选择题1“pq为假命题”是“綈p为真命题”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：pq为假命题，则p，q均为假命题，故pq为假命题綈p为真命题，但綈p为真命题 pq为假命题答案：A2已知p：点P在直线y2x3上，q：点P在直线y3x2上，则使命题pq为真命题的一个点P(x，y)是()A(0，3)B(1,2)C(1，1)D(1,1)解析：因为pq为真命题，所以p，q均为真命题，即点P为直线y2x3与y3x2的交点，故有解得故选C.答案：C3已知全集UR，AU，BU，如果命题p：(AB)，则命题“綈p”是()A.AB.(UA)(UB)C.UBD.(AB)解析：由p：(AB)，可知綈p：(AB)，即U(AB)，而U(AB)(UA)(UB)答案：B4下列各组命题中，满足“p或q”为真，且“非p”为真的是()Ap：0；q：0Bp：在ABC中，若cos 2Acos 2B，则AB；q：函数ysin x在第一象限是增函数Cp：ab2(a，bR)；q：不等式|x|x的解集为(，0)Dp：圆(x1)2(y2)21的面积被直线x1平分；q：过点M(0,1)且与圆(x1)2(y2)21相切的直线有两条解析：A中，p，q均为假命题，故“p或q”为假，排除A；B中，由在ABC中，cos 2Acos 2B，得12sin2A12sin2B，即(sin Asin B)(sin Asin B)0，所以AB0，故p为真，从而“非p”为假，排除B；C中，p为假，从而“非p”为真，q为真，从而“p或q”为真；D中，p为真，故“非p”为假，排除D.故选C.答案：C二、填空题5命题“若abc0，则a，b，c中至少有一个为零”的否定为：_，否命题为：_.解析：否定形式：若abc0，则a，b，c全不为零否命题：若abc0，则a，b，c全不为零答案：若abc0，则a，b，c全不为零若abc0，则a，b，c全不为零6已知命题p：x1，命题q：1，则綈p是q的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个)解析：p：x1綈p：x11，但1 x1.綈p是q的充分不必要条件答案：充分不必要7若命题p：不等式axb0的解集为，命题q：关于x的不等式(xa)(xb)0的解集为x|axb，则“pq”“pq”“綈p”形式的复合命题中的真命题是_解析：因命题p，q均为假命题，所以“pq”“pq”为假命题，“綈p”为真命题答案：綈p8已知条件p：(x1)24，条件q：xa，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是_解析：由綈p是綈q的充分而不必要条件，可知綈p綈q，但綈q 綈p，又一个命题与它的逆否命题等价，可知qp，但pq，又p：x1或xax|x1，所以a1.答案：1，)三、解答题9写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断真假(1)p：1是质数，q：1是方程x22x30的根；(2)p：平行四边形的对角线一定相等，q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：NZ，q：0N.解：(1)因为p假q真，所以p或q：1是质数或1是方程x22x30的根，为真命题；p且q：1是质数且1是方程x22x30的根，为假命题；非p：1不是质数，为真命题(2)因为p假q假，所以p或q：平行四边形的对角线一定相等或互相垂直，为假命题；p且q：平行四边形的对角线一定相等且互相垂直，为假命题；非p：平行四边形的对角线不一定相等，为真命题(3)因为p真q真，所以p或q：NZ或0N，为真命题；p且q：NZ且0N，为真命题；非p：NZ，为假命题10设命题p：函数f(x)logax(a0，且a1)在(0，)上单调递增；q：关于x的方程x22xloga0(a0，且a1)的解集只有一个子集若pq为真，pq为假，求实数a的取值范围解：当命题p是真命题时，应有a1.当命题q是真命题时，关于x的方程x22xloga0无解，所以44loga0，解得1a.由于pq为真，则p和q中至少有一个为真，又pq为假，则p和q中至少有一个为假，所以p和q中一真一假，当p假q真时，有不存在符合条件的实数a；当p真q假时，有解得a，综上所述，实数a的取值范围是.
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