2018-2019学年高中数学 第八章 解三角形 8.1 正弦定理（二）学案 湘教版必修4.doc

8.1正弦定理(二)学习目标1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.知识链接以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是.(1)在ABC中，若，则A90(2)在ABC中，若sin2Asin2B，则ab(3)在ABC中，若sinAsinB，则AB；反之，若AB，则sinAsinB(4)在ABC中，答案(2)解析对于(1)，由正弦定理可知，sinBcosB，sinCcosC，BC45，故A90，故(1)正确.对于(2)，由sin2Asin2B可得AB或2A2B，ab或a2b2c2，故(2)错误.对于(3)，在ABC中，sinAsinBabAB，故(3)正确.对于(4)，因为，所以，故(4)正确.预习导引1.正弦定理的常见变形(1)sinAsinBsinCabc；(2)2R；(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinA，sinB，sinC.2.三角变换公式(1)sin ()sincoscossin；(2)sin ()sincoscossin；(3)sin22sincos.要点一利用正弦定理判断三角形的形状例1在ABC中，若sinA2sinBcosC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状.解方法一在ABC中，根据正弦定理：2R(R为ABC外接圆的半径).sin2Asin2Bsin2C，222，即a2b2c2.A90，BC90.由sinA2sinBcosC，得sin902sinBcos(90B)，sin2B.B是锐角，sinB，B45，C45.ABC是等腰直角三角形.方法二在ABC中，根据正弦定理：sinA，sinB，sinC.sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，ABC是直角三角形且A90.A180(BC)，sinA2sinBcosC，sin(BC)2sinBcosC.sinBcosCcosBsinC0，即sin(BC)0.BC0，即BC.ABC是等腰直角三角形.规律方法依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.跟踪演练1在ABC中，已知a2tanBb2tanA，试判断ABC的形状.解在ABC中，由正弦定理，.又a2tanBb2tanA，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B.2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形.要点二利用正弦定理求最值或范围例2在锐角ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a2bsinA，求cosAsinC的取值范围.解设R为ABC外接圆的半径.a2bsinA，2RsinA4RsinBsinA，sinB.B为锐角，B.令ycosAsinCcosAsin(BA)cosAsincosAsincosAcossinAcosAsinAsin.由锐角ABC知，BA，A.A，sin，sin，即y0，所以0B，所以cosB1.因为2cosB，所以12cosB2，故12.要点三正弦定理与三角变换的综合例3已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac2b，且2cos2B8cosB50，求角B的大小并判断ABC的形状.解2cos2B8cosB50，2(2cos2B1)8cosB50.4cos2B8cosB30，即(2cosB1)(2cosB3)0.解得cosB或cosB(舍去).0B，B.ac2b.由正弦定理得sinAsinC2sinB2sin.sinAsin(A)，sinAsincosAcossinA.化简得sinAcosA，sin(A)1.0A，A.A，C.ABC是等边三角形.规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.跟踪演练3已知方程x2(bcosA)xacosB0的两根之积等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得bcosAacosB.由正弦定理得2RsinBcosA2RsinAcosB，sinAcosBcosAsinB0，sin(AB)0.A、B为ABC的内角，0A，0B，ABsinB，则角A与角B的大小关系为()A.ABB.AsinB2RsinA2RsinB(R为ABC外接圆的半径)abAB.2.在ABC中，已知A150，a3，则其外接圆的半径R的值为()A.3B.C.2D.不确定答案A解析在ABC中，由正弦定理得62R，R3.3.在ABC中，AC，BC2，B60，则角C的值为()A.45B.30C.75D.90答案C解析由正弦定理得，sinA.BC2AC，A60.A45.C75.4.在ABC中，若，则ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理可得，tanAtanBtanC，ABC.5.已知一三角形中a2，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形.解a2，b6，ab，A30bsinA，所以本题有两解，由正弦定理得：sinB，故B60或120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.1.已知a，b和A，用正弦定理解三角形的各种情况：(1)列表如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数一解两解一解一解(2)也可利用正弦定理sinB进行讨论：如果sinB1，则问题无解；如果sinB1，则问题有一解；如果求出sinB0)，三式联立可求得ak，bk，ck，abc753，即sinAsinBsinC753.2.在ABC中，a2bcosC，则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理得sinA2sinBcosC，sin (BC)2sinBcosC，sinBcosCcosBsinC2sinBcosC，sin (BC)0，BC，故选A.3.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()A.B.C.1D.答案D解析，.3a2b，.2()212()211.4.在ABC中，若b1，c，C，则a的值为()A.1B.2C.D.答案A解析由正弦定理，有，sinB.C为钝角，B必为锐角，B，A.ab1.5.在单位圆上有三点A，B，C，设ABC三边长分别为a，b，c，则.答案7解析ABC的外接圆直径为2R2，2R2，2147.6.在ABC中，A60，b4，a4，则B.答案45解析由正弦定理，得sinB，ab，AB.B只有一解.B45.7.不解三角形，判断下列三角形解的个数.(1)a5，b4，A120；(2)a9，b10，A60；(3)c50，b72，C135.解(1)sinBsin120，ab，B为锐角，所以三角形有一解.(2)sinBsin60，而1，所以当B为锐角时，满足sinB的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足AB180，故三角形有两解.(3)cb，C180，故三角形无解.二、能力提升8.在ABC中，则ABC一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D解析在ABC中，acosAbcosB，由正弦定理，得2RsinAcosA2RsinBcosB，sin2Asin2B.2A2B或2A2B180，AB或AB90.故ABC为等腰三角形或直角三角形.9.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(，1)，n(cosA，sinA)，若mn，且acosBbcosAcsinC，则角A，B的大小为()A.，B.，C.，D.，答案C解析mn，cosAsinA0，tanA，A，由正弦定理得sinAcosBsinBcosAsin2C，sin(AB)sin2C，即sinC1，C，B.10.ABC中，A，BC3，则ABC的周长为(用B表示).答案6sin3解析在ABC中，由正弦定理得，化简得AC2sinB，化简得AB2sin，所以三角形的周长为：3ACAB32sinB2sin33sinB3cosB6sin3.11.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2BAC，ab2c，求sinC的值.解2BAC，ABC180，B60，AC120，0A120，0C120且A120C.ab2c，由正弦定理得sinAsinB2sinC，sin (120C)2sinC，即cosCsinC2sinC，sinCcosC.sin (C30).30C3090，C3045.C75.sinCsin (4530)sin45cos30cos45sin30.12.在ABC中，已知，且cos (AB)cosC1cos2C.(1)试确定ABC的形状；(2)求的取值范围.解(1)在ABC中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得sinA，sinB，代入，得：，b2a2ab.cos(AB)cosC1cos2C，cos(AB)cos(AB)2sin2C，sinAsinBsin2C.由正弦定理，得2，abc2.把代入得，b2a2c2，即a2c2b2.ABC是直角三角形.(2)由(1)知B，AC，CA.sinCsincosA.根据正弦定理，sinAcosAsin.0A，A.sin(A)1，1sin，即的取值范围是(1，.三、探究与创新13.如图所示，在RtABC中，斜边c为RtABC外接圆的直径，故有2R，这一关系对任意三角形也成立吗？证明在锐角ABC中，如下图，连接BO交圆O于D，连接CD.因为AD，则在BCD中，2R.同理，2R，所以2R成立.在钝角ABC中，如下图，连接BO交圆O于D，连接CD，A180D，所以2R.所以2R仍成立.