2018-2019学年高中数学 第八章 解三角形 8.1 正弦定理（一）学案 湘教版必修4.doc

8.1正弦定理(一)学习目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.知识链接下列说法中，正确的有_.(1)在直角三角形中，若C为直角，则sinA；(2)在ABC中，若ab，则AB；(3)在ABC中，CAB；(4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等；(5)在ABC中，若sinB，则B.答案(1)(2)(3)解析根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为，(3)正确；AAS可以证明三角形全等，SSA不能证明，(4)不正确；若sinB，则B或，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确.预习导引1.在RtABC中的有关定理在RtABC中，C90，则有：(1)AB90，0A90，0Ba，BA30，B60或120.当B60时，C180(AB)180(3060)90，c2；当B120时，C180(AB)180(30120)30，c1.(2)根据正弦定理，sinA1.因为sinA1.所以A不存在，即无解.规律方法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.跟踪演练2(1)在ABC中，已知a2，c，C，求A，B，b.(2)在ABC中，已知a2，c，A，求C，B，b.解(1)，sinA.ca，CA.A.B，b1.(2)，sinC.又ac，C或.当C时，B，b1.当C时，B，b1.要点三正弦定理与三角形面积公式的综合应用例3在ABC中，若A120，AB5，BC7，求ABC的面积.解如图，由正弦定理，得，sinC，且C为锐角(A120).cosC.sinBsin(180120C)sin(60C)cosCsinC.SABCABBCsinB57.规律方法在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.跟踪演练3ABC中，AB，AC1，B30，求ABC的面积.解由正弦定理得，sinC.0C180，C60或120.(1)当C60时，A90，BC2，此时，SABC；(2)当C120时，A30，SABC1sin30.1.已知ABC的面积为且b2，c2，则角A等于()A.30B.30或150C.60D.60或120答案D解析SbcsinA22sinA，sinA，A60或120.2.在ABC中，一定成立的等式是()A.asinAbsinBB.acosAbcosBC.asinBbsinAD.acosBbcosA答案C解析由正弦定理，得asinBbsinA，故选C.3.在ABC中，sinAsinC，则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案B解析由sinAsinC知ac，ABC为等腰三角形.4.已知锐角三角形ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为()A.75B.60C.45D.30答案B解析由三角形面积公式，得SABCBCCAsinC43sinC3.所以sinC，则C60.5.在ABC中，B30，C120，则abc_.答案11解析根据三角形内角和定理，A1803012030，由正弦定理得：abcsinAsinBsinC11.1.正弦定理的表示形式：2R，或a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(R为三角形外接圆半径).2.正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.一、基础达标1.在ABC中，下列关系中一定成立的是()A.absinAD.absinA答案D解析由正弦定理得，sinBsinA.又在ABC中，0sinB1，0b，A60，B为锐角.cosB.6.在ABC中，已知a3，cosC，SABC4，则b_.答案2解析cosC，sinC，absinC4，b2.7.已知在ABC中，c10，A45，C30，求a、b和B.解根据正弦定理，得a10.由三角形内角和定理，B180(4530)105.又，b20sin75205().二、能力提升8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cosC()A.B.C.D.答案A解析由正弦定理及8b5c，得8sinB5sinC，又C2B，所以8sinB5sin2B10sinBcosB，cosB，cosCcos2B2cos2B12()21.9.在ABC中，已知A，a，b1，则c的值为()A.1B.2C.1D.答案B解析由正弦定理，可得，sinB，由ab，得AB，B30.故C90，由勾股定理得c2.10.锐角三角形的内角分别是A、B、C，并且AB.下面三个不等式成立的是_.sinAsinB；cosAcosAcosB.答案解析ABabsinAsinB，故成立.函数ycosx在区间0，上是减函数，AB，cosA，AB，则有sinAsin(B)，即sinAcosB，同理sinBcosA，故成立.11.已知在ABC中，c10，A45，C30，求a，b和B.(保留两位有效数字)解A45，C30，B180(AC)105.由正弦定理得a1014.b20sin75205519.12.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，cosA，b.(1)求sinC的值；(2)求ABC的面积.解(1)因为角A，B，C为ABC的内角，且B，cosA，所以CA，sinA.于是sinCsin(A)cosAsinA.(2)由(1)知sinA，sinC.又因为B，b，所以在ABC中，由正弦定理得a.于是ABC的面积SabsinC.三、探究与创新13.在ABC中，已知c10，又知，求a、b及ABC的内切圆半径.解由正弦定理知，.即sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B.又ab，2A2B，即AB.ABC是直角三角形，且C90，由得a6，b8.故内切圆的半径为r2.