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1参数方程的概念 1参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t(，)的函数：，并且对于每一个t的允许值，方程组所确定的点(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程2参数的意义参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数参数方程表示的曲线上的点例1已知曲线C的参数方程为(t为参数)(1)判断点A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线C的位置关系；(2)若点F(10，a)在曲线C上，求实数a的值解(1)把点A(1,0)的坐标代入方程组，解得t0，所以点A(1,0)在曲线上把点B(5,4)的坐标代入方程组，解得t2，所以点B(5,4)也在曲线上把点E(3,2)的坐标代入方程组，得到即故方程组无解，所以点E不在曲线上(2)因为点F(10，a)在曲线C上，所以解得或所以a6.参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的1已知点M(2，2)在曲线C：(t为参数)上，则其对应的参数t的值为_解析：由t2，解得t1.答案：12已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，aR)点M(5,4)在该曲线上，求常数a.解：点M(5,4)在曲线C上，解得a的值为1.求曲线的参数方程例2如图，ABP是等腰直角三角形，B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程思路点拨解决此类问题关键是参数的选取本例中由于A，B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数，或以角为参数，此时不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解解法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示，则RtOABRtQBP.取OBt，t为参数(0ta)|OA|，|BQ|.点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0ta)法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示取QBP，为参数，则ABO.在RtOAB中，|OB|acosasin .在RtQBP中，|BQ|acos ，|PQ|asin .点P在第一象限的轨迹的参数方程为求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系(2)选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略3设飞机以v150 m/s 作水平匀速飞行，若在飞行高度h490 m处投弹，求炸弹离开飞机后的轨迹方程(设炸弹的初速度等于飞机的速度)(g9.8 m/s 2)解：如图，A为投弹点，坐标为(0,490)，B为目标记炸弹飞行的时间为t，在A点t0，设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得(t为参数)，即(t为参数)，这是炸弹飞行曲线的参数方程一、选择题1下列方程可以作为x轴的参数方程的是()A.B.C. D.解析：选Dx轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.2当参数变化时，由点P(2cos ，3sin )所确定的曲线过点()A(2,3) B(1,5)C. D(2,0)解析：选D当2cos 2，即cos 1时，3sin 0，所以过点(2,0)3在方程(为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()A(2，7) B.C. D(1,0)解析：选C将点的坐标代入参数方程，若能求出，则点在曲线上，经检验，知C满足条件4由方程x2y24tx2ty3t240(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为()A. B.C. D.解析：选A设(x，y)为所求轨迹上任一点由x2y24tx2ty3t240，得(x2t)2(yt)242t2，二、填空题5已知曲线(为参数，02)，下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(3,5)，其中在曲线上的点是_解析：将A点坐标代入方程得：0或，将B，C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上答案：A(1,3)6若曲线经过点，则a_.解析：将点代入曲线方程得cos ，a2sin 2 .答案：7动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为_解析：设M(x，y)，则在x轴上的位移为x19t，在y轴上的位移为y112t.其参数方程为答案：三、解答题8.如图，已知定点A(2,0)，点Q是圆C：x2y21上的动点，AOQ的平分线交AQ于点M，当Q在圆C上运动时，求点M的轨迹的参数方程解：设点O到AQ的距离为d，则|AM| d|OA|OM|sin AOM，|QM|d|OQ|OM|sin QOM，又AOMQOM，所以2，所以AQ.设点Q(cos ，sin )，M(x，y)，则(x2，y0)(cos 2，sin 0)，即xcos ，ysin ，故点M的轨迹的参数方程为(为参数)9.某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H2 000 m，水平飞行速度为v1100 m/s，如图所示(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v220 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g10 m/s2)解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)，易知炸弹在飞行时作平抛运动，依题意得即令y2 0005t20，得t20，所以飞机投弹t s后炸弹的水平位移为100t m，离地面的高度为(2 0005t2)m，其中0t20.(2)易知炸弹的水平方向运动和汽车的运动均为匀速直线运动以汽车为参考系，水平方向上s相对v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s(v1v2)t(10020)201 600 m.10试确定过M(0,1)作椭圆x21的弦的中点的轨迹方程解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为ykx1，其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)设中点P(x，y)，则有x，y.由得(k24)x22kx30，x1x2，y1y2，就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程
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