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22.3实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数(1)知能演练提升能力提升1.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中每月获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是() A.1月、2月、3月B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月2.如图,在正方形ABCD中,AB=8 cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1 cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动.设运动时间为t(单位:s),OEF的面积为S(单位:cm2),则S与t的函数关系可用图象表示为()3.某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则果园里增种棵橘子树,橘子总个数最多.4.某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为.5.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少钱才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(单位:千克)与销售单价x(单位:元/千克)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?6.如图,在ABCD中,AB=4,BC=3,BAD=120,E为BC上一动点(不与B重合),作EFAB于点F,FE,DC的延长线交于点G,设BE=x,DEF的面积为S.(1)求用x表示S的函数解析式,并写出x的取值范围;(2)当E运动到何处时,S有最大值,最大值为多少?7.某城镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入x万元,可获得利润P=-1100(x-60)2+41(单位:万元).当地政府拟在五年规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划五年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的三年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入x万元,可获利润Q=-99100(100-x)2+2945(100-x)+160(单位:万元).(1)若不进行开发,求五年所获利润的最大值是多少;(2)若按规划实施,求五年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少;(3)根据(1)(2),该方案是否具有实施价值?8.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用周长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m.(1)若苗圃园的面积为72 m2,求x.(2)若平行于墙的一边长不小于8 m,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.(3)当这个苗圃园的面积不小于100 m2时,直接写出x的取值范围.9.某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行了调查统计,得到如下数据:销售价x/(元/千克)25242322销售量y/千克2 0002 5003 0003 500(1)在如图的直角坐标系内,描出各组有序数对(x,y)所对应的点,连接各点并观察所得的图形,判断y与x之间的函数关系,并求出y与x之间的函数解析式;(2)若樱桃进价为13元/千克,试求销售利润P(单位:元)与销售价x(单位:元/千克)之间的函数关系式,并求出当x取何值时,P的值最大.10.由于受干旱的影响,5月份,某市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周每周的平均销售价格变化如下表:周数x1234价格y(元/千克)22.22.42.6进入6月,由于本地蔬菜的上市,此种蔬菜的平均销售价格y(单位:元/千克)从6月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克,且y与周数x的变化情况满足二次函数y=-120x2+bx+c.(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数或二次函数的有关知识直接写出5月份y与x的函数解析式,并求出6月份y与x的函数解析式.(2)若5月份此种蔬菜的进价m(单位:元/千克)与周数x所满足的函数关系为m=14x+1.2,6月份此种蔬菜的进价m(单位:元/千克)与周数x所满足的函数关系为m=-15x+2.试问5月份与6月份分别在哪一周销售此种蔬菜1千克的利润最大?且最大利润分别是多少?创新应用11.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(单位:万件)与销售单价x(单位:元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)(1)写出每月的利润z(单位:万元)与销售单价x(单位:元)之间的函数解析式.(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?答案：能力提升1.Cy=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12),当y=0时,n=2或n=12.又该函数的图象开口向下,1月,y0;2月、12月,y=0.该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月.故选C.2.B设OEF中EF边上的高为h,则易知h=12EF,于是SOEF=12hEF=14EF2=14(EC2+FC2)=14(8-t)2+t2=12t2-4t+16(0t8).故选B.3.104.0a29.5,所以a6,故答案为0a6.5.解 (1)设荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本.由题意得y(1-5%)(5+0.7),解得y6.所以,水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90.因此,当x=9时,w有最大值.所以,当销售单价定为9元/千克时,每天获得的利润w最大.6.解 (1)在ABCD中,ABCD,EFAB,故有DGFE,即DG为DEF中EF边上的高.BAD=120,B=60.BEF=CEG=30.在RtBEF与RtEGC中,EF=32x,CG=12CE=12(3-x),DG=CD+CG=11-x2.于是S=12EFDG=-38x2+1138x,其中0x3.(2)由(1)知,当018,故舍去x=3.x=12.(2)依题意,得830-2x18,解得6x11.面积S=x(30-2x)=-2x-1522+2252(6x11).当x=152时,S有最大值,Smax=2252(m2);当x=11时,S有最小值,Smin=11(30-22)=88(m2).(3)令x(30-2x)=100,得x2-15x+50=0.解得x1=5,x2=10.又30-2x18,x6,故x的取值范围是6x10.9.解 (1)正确描点、连线.由图象可知,y是x的一次函数.设y=kx+b,因为点(25,2 000),(24,2 500)在图象上,则2 000=25k+b,2 500=24k+b,解得k=-500,b=14 500.故y=-500x+14 500(x0).(2)P=(x-13)y=(x-13)(-500x+14 500)=-500x2+21 000x-188 500=-500(x-21)2+32 000.因此P与x的函数解析式为P=-500x2+21 000x-188 500,当销售价为21元/千克时,能获得最大利润.10.解 (1)通过观察可见5月份价格y与周数x符合一次函数解析式,即y=0.2x+1.8.将(1,2.8),(2,2.4)代入y=-120x2+bx+c,可得2.8=-120+b+c,2.4=-15+2b+c,解之,得b=-14,c=3.1,即y=-120x2-14x+3.1.(2)设5月份第x周销售此种蔬菜1千克的利润为W1元,6月份第x周销售此种蔬菜1千克的利润为W2元,W1=(0.2x+1.8)-14x+1.2=-0.05x+0.6,因为-0.050,所以W1随x的增大而减小.所以当x=1时,W1最大=-0.05+0.6=0.55.W2=(-0.05x2-0.25x+3.1)-15x+2=-0.05x2-0.05x+1.1.因为对称轴为x=-0.052(-0.05)=-0.5,且-0.05-0.5时,y随x的增大而减小.所以当x=1时,W2最大=1.所以5月份销售此种蔬菜1千克的利润在第1周最大,最大利润为0.55元;6月份销售此种蔬菜1千克的利润在第1周最大,最大利润为1元.创新应用11.解 (1)z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x2+136x-1 800,所以z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1 800.(2)由z=350,得350=-2x2+136x-1 800,解这个方程得x1=25,x2=43.所以销售单价定为25元或43元.将z=-2x2+136x-1 800配方,得z=-2(x-34)2+512,因此,当销售单价为34元时,厂商每月能获得最大利润,最大利润是512万元.(3)结合(2)及函数z=-2x2+136x-1 800的图象(如图)可知,当25x43时,z350.又由这种电子产品的销售单价不能高于32元,得25x32.根据一次函数的性质,得y=-2x+100中y随x的增大而减小,所以当x=32时,每月制造成本最低.最低成本是18(-232+100)=648(万元),即所求每月最低制造成本为648万元.
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