矩阵特征值与特征向量的计算ppt课件

第3章矩阵特征值与特征向量的计算 刘广利 1 在科学技术的应用领域中 许多问题都归为求解一个特征系统 如动力学系统和结构系统中的振动问题 求系统的频率与振型 物理学中的某些临界值的确定等等 引言 2 引言 3 定义1设矩阵A B Rn n 若有可逆阵P 使则称A与B相似 定理1若矩阵A B Rn n且相似 则 1 A与B的特征值完全相同 2 若x是B的特征向量 则Px便为A的特征向量 引言 4 定理2 设A Rn n具有完全的特征向量系 即存在n个线性无关 其中 i为A的特征值 P的各列为相应于 i的特征向量 的特征向量构成Rn的一组基底 则经相似变换可化A为 对角阵 即有可逆阵P 使 5 定理3 A Rn n 1 n为A的特征值 则 2 A的行列式值等于全体特征值之积 即 1 A的迹数等于特征值之和 即 6 定理4设A Rn n为对称矩阵 其特征值 1 2 n 则 1 对任意A Rn x 0 2 3 其中称为关于x的Rayleigh 雷利 商 7 定理5 圆盘定理 设A Rn n 则 表示以aii为中心 以半径为的复平面上的n个圆盘 2 如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S 连通的 与其余 1 A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中 n m个圆盘不连接 则S内恰包含m个A的特征值 8 定理4及定理5给出了矩阵特征值的估计方法及界 例1设有估计A的特征值的范围 解 由圆盘定理 D1为弧立圆盘且包含A的一个实特征值 1 因为虚根成对出现的原理 则3 1 5 而 2 3 D2 D3 则 9 3 1乘幂法与反幂法 3 1 1乘幂法 10 11 12 13 14 x K 2 15 16 17 18 定理6设A Rn n有完全特征向量系 若 1 2 n为A的n个特征值且满足 对任取初始向量x 0 Rn 对乘幂公式 确定的迭代序列 xk 有下述结论 1 当时 对i 1 2 n 收敛速度取决于的程度 r 1收敛快 r 1收敛慢 且x k 当k充分大时 为相应于 1的特征向量的近似值 19 2 当时 a 若 1 2 则主特征值 1及相应特征向量的求法同 1 收敛速度取决于的程度 向量 c 若 则连续迭代两次 计算出x k 1 x k 2 分别为主特征值 1 2相应的特征向量的近似值 然后对j 1 2 n解方程 b 若 1 2 对i 1 2 n 20 求出 后 由公式 解出主特征值 1 2 此时收敛速度取决于的程度 向量 分别为相应于 1 2 的特征向量的近似值 21 22 规范化乘幂法 令max x 表示向量x分量中绝对值最大者 即如果有某i0 使 则 max x xi0 对任取初始向量x 0 记 定义 一般地 若已知x k 称下面的公式为规范化乘幂法公式 改进的乘幂公式 23 定理7设A Rn n具有完全特征向量系 1 2 n为A 则对任初始向量x 0 由规范化的乘幂法公式确定的向量序列 1 2 y k 为相应于主特征值 1的特征向量近似值 的n个特征值 且满足 y k x k 满足 24 例2用规范化乘幂法计算矩阵A的主特征值及相应特征向量 25 26 3 1 2反幂法 如何计算 解线性方程组 对应同样一组特征向量 设A Rn n可逆 则无零特征值 由 有 27 规范化反幂法公式为 28 29 3 1 3乘幂法的加速 原点位移法 30 31 32 原点移位法是一个矩阵变换过程 变换简单且不破坏原矩阵的稀疏性 但由于预先不知道特征值的分布 所以应用起来有一定困难 通常对特征值的分布有一个大略估计 设定一个参数 0进行试算 当所取 0对迭代有明显加速效应以后再进行确定计算 33 34 35 3 2子空间迭代法 36 37 对n维向量空间 设 1 n为Rn上n个线性无关的向量 类似有 38 即 Q为正交阵 R为上三角阵 39 将n个线性无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为 斯密特正交化方法 斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积 子空间迭代法也称平行迭代法 是乘幂法的推广 一次可以求出矩阵的前几个按模最大的特征值和特征向量 40 41 42 43 3 3雅克比 Jacobi 旋转法 1 预备知识 1 若B是上 或下 三角阵或对角阵 则B的主对角元素即是B的特征值 2 若矩阵P满足PTP I 则称P为正交矩阵 显然PT P 1 且P1 P2 是正交阵时 其乘积P P1P2 Pk仍为正交矩阵 44 3 称矩阵 为旋转矩阵 i不等于j 45 2 雅克比方法 先以二阶矩阵为例 46 47 设矩阵A Rn n是对称矩阵 记A0 A 对A作一系列旋转相似变换 其中Ak k 1 2 仍是对称矩阵 Pk的形式 48 Pk是一个正交阵 我们称它是 i j 平面上的旋转矩阵 PkAk 1PkT只改变A的第i行 j行 i列 j列的元素 Ak和Ak 1的元素仅在第P行 列 和第q行 列 不同 它们之间有如下的关系 49 50 我们选取Pk 使得 因此需使 满足 将 限制在下列范围内 如果 51 直接从三角函数关系式计算sin 和cos 记 则 当时 有下面三角恒等式 52 于是 采用下面公式计算sin2 53 54 特征向量的计算 P0 I 记 Pk的元素为 55 算法 1 从A k 1 中找出绝对值最大元素 2 若 则为对角阵 停 若 1 令 56 3 57 4 58 5 计算特征向量 P0 I 59 60 练习 61 3 4Householder方法 计算A的部分或全部特征值 特征向量计算过程 利用正交相似变换将A化为对称的三对角矩阵C应用对分法计算C的特征值计算相应的特征向量 62 3 4 1实对称矩阵的三对角化 旋转变换 C PTAP 将A化为三对角矩阵 使某个事实上 只需记上述旋转矩阵P Pi j k取P下标231 241 2n1 342 352 3n2 n 1 n n 2 依次对A进行正交相似变换 便可将A化为三对角C 63 64 反射变换 反射矩阵或Householder矩阵 性质 1 对称矩阵 2 正交矩阵 3 对合矩阵 4 保模变换 65 Householder变换 定理 设x y Rn x y且 x 2 y 2 则存在n阶反射变换H 使得y Hx 证 取 又 66 Householder变换 定理表明 对任意的非零向量x Rn 存在反射矩阵H 使得Hx e1 其中 x 2 e1 1 0 0 T 且 注 为了防止 与x1互相抵消 通常取 sign x1 x 2 67 将A化为三对角矩阵的具体作法 令A0 A 根据下面公式定义的H将A0的第3 n个分量化为零 此时对称矩阵A1 H1A0H1的第1行第1列成为三对角再按照下面的公式构造H2 如此下去就可以 68 69 70 3 4 2求对称三角矩阵特征值的对分法 考虑对称三角阵记C I的左上角的k阶主子式为pk 且p0 1 可得 71 同号数 对固定的 序列 pk 相邻两数符号相同的个数 如果为0则规定与前一个数同号 72 定理 73 防止高次多项式求值溢出 74 作业 教材 P92 8题 75 第3章矩阵特征值与特征向量 一 考核知识点 乘幂法 逆幂法 雅可比法二 考核要求 1 知道乘幂法 逆幂法的基本思想 会用乘幂法求矩阵的特征值与特征向量 2 知道雅可比法的基本思想 会用雅可比法计算对称矩阵的特征值与特征向量 76 77 78