2019高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版选修.ppt

3 1 1数系的扩充和复数的概念 1 复数的概念及其表示 1 虚数单位满足i2 1的i叫做虚数单位 2 复数的定义形如a bi a b R 的数叫做复数 其中i是虚数单位 全体复数所构成的集合C叫做复数集 3 复数的表示复数通常用字母z表示 即z a bi a b R 这一表示形式叫做复数的代数形式 a与b分别叫做复数z的实部与虚部 名师点拨1 对于复数z a bi a b R 应注意其虚部是b 而不是bi 2 对于复数z a bi 只有当a b R时 才能得出z的实部为a 虚部为b 若没有a b R的条件 则不能说a b就是z的实部与虚部 2 复数相等的充要条件在复数集C a bi a b R 中任取两个复数a bi c di a b c d R 规定a bi与c di相等的充要条件是a c 且b d 名师点拨两个复数的比较问题 1 若两个复数全是实数 则可以比较大小 反之 若两个复数能够比较大小 说明这两个复数都是实数 2 当两个复数不全是实数时 就不能比较它们的大小 只能说它们相等还是不相等 3 根据两个复数相等的充要条件 如果a c b d两式中至少有一个不成立 那么就有a bi c di 做一做2 若x y R 且2016 yi x 2017i 则实数x y 解析 由复数相等的充要条件可得所以x 2016 y 2017 答案 2016 2017 名师点拨1 形如z bi的数不一定是纯虚数 只有当b R且b 0时 bi才是纯虚数 否则不一定是纯虚数 2 若z是纯虚数 可设z bi b R b 0 若z是虚数 可设z a bi a b R且b 0 若z是复数 可设z a bi a b R 解析 根据纯虚数的定义知 是纯虚数 答案 C 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 若a b是实数 则z a bi是虚数 2 在复数z x yi x y R 中 若x 0 则复数z为纯虚数 3 复数可以分为两大类 实数与虚数 4 若复数z等于0 则其实部与虚部都等于0 5 两个复数一定不能比较大小 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对复数相关概念的理解 例1 下列说法中正确的是 A 复数由实数 虚数 纯虚数构成B 若复数z x yi x y R 是虚数 则必有x 0C 在复数z x yi x y R 中 若x 0 则复数z一定不是纯虚数D 若a b R且a b 则a i b i思路分析 根据复数及其相关概念进行分析判断 注意列举反例 解析 选项A错 复数由实数与虚数构成 在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数 选项B错 若复数z x yi x y R 是虚数 则必有y 0 但可以x 0 选项C正确 若复数z x yi x y R 是纯虚数 必有x 0 y 0 因此只要x 0 复数z一定不是纯虚数 选项D错 当a b R时 a i与b i都是虚数 不能比较大小 答案 C 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟判断复数概念方面的命题真假的注意点 1 正确理解复数 虚数 纯虚数 实部 虚部 复数相等的概念 注意它们之间的区别与联系 2 注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同 3 注意通过列举反例来说明一些命题的真假 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1给出下列说法 复数2 3i的虚部是3i 形如a bi b R 的数一定是虚数 若a R a 0 则 a 3 i是纯虚数 若两个复数能够比较大小 则它们都是实数 其中错误说法的个数是 A 1B 2C 3D 4解析 复数2 3i的虚部是3 错 形如a bi b R 的数不一定是虚数 错 只有当a R a 3 0时 a 3 i是纯虚数 错 若两个复数能够比较大小 则它们都是实数 故 正确 所以有3个错误 答案 C 探究一 探究二 探究三 思维辨析 复数的分类及其应用 例2 已知复数z a3 4a2 3a a R a 0 1 当a为何值时 z是实数 2 当a为何值时 z是虚数 3 是否存在实数a 使得z是纯虚数 4 是否存在实数a 使得z等于0 思路分析 根据复数分类的标准及条件 建立关于实数a的方程或不等式 组 求解a满足的条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟根据复数的分类求参数的方法及注意事项 1 根据复数的分类求参数时 首先应将复数化为标准的代数形式z a bi a b R 若不是这种形式 应先化为这种形式 得到实部与虚部 再求解 2 要注意先确定使实部 虚部的式子有意义的条件 再结合实部与虚部的取值求解 3 要特别注意复数z a bi a b R 为纯虚数的充要条件是a 0且b 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知m R 复数z lgm m2 1 i 当m为何值时 1 z为实数 2 z为虚数 3 z为纯虚数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 复数相等的充要条件及其应用 例3 求解下列各题 1 若 4x 2y i x 1 求实数x y的值 2 若不等式m2 m2 2m i 9 成立 求实数m的值 思路分析 对于 1 可直接根据两个复数相等的充要条件建立关于x y的方程组求解 对于 2 应先根据两个复数能够比较大小 确定它们都是实数 然后再根据大小关系建立不等式组求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 解决复数相等问题的基本步骤 1 等号两侧都写成复数的代数形式 2 根据两个复数相等的充要条件列出方程 组 3 解方程 组 2 复数比较大小问题的求解方法一般地 两个复数是不一定能够比较大小的 若给出的两个复数有了大小关系 则说明这两个复数首先已经是实数 然后还有相应的大小关系 例如 如果a b c d R且a bi c di 则必有 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3若a b c R 且复数z1 3a b i与复数z2 2 a c i相等 则a b c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对复数的相关概念理解不清致误 典例 给出下列命题 若x yi 0 则x y 0 若a bi 3 8i 则a 3 b 8 若x为实数 且 x2 4 x2 2x i是纯虚数 则x 2 若3x mi 0 则有x 0 其中正确命题的序号是 错解分析 本题常见错解是由于对复数中的相关概念 例如虚数 纯虚数 实部 虚部等理解不清 混淆它们之间的联系 导致错误选择 解析 命题 和 都是错误的 原因是没有x y R a b R的限制条件 相应结论都是错误的 命题 也是错误的 事实上 当 x2 4 x2 2x i是纯虚数时 应有所以x 2 是正确的 因为由3x mi 0可得即x 0 答案 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得复数中的许多结论 都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的 如果没有这一条件 相应结论不一定能够成立 例如 a bi 0 a b 0成立的条件是a b R a bi c di a c b d成立的条件是a b c d R 另外 复数z a bi a b R 为纯虚数的条件是a 0且b 0 切记不能丢掉 b 0 这一条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 跟踪训练若k R 且 2k2 5k 3 2k2 k 1 i不是纯虚数 则实数k的取值范围是 解析 当该复数是纯虚数时 应有解得k 3 因此若该复数不是纯虚数 必有k 3 答案 k 3 1 下列命题正确的是 A 0是实数不是复数B 实数集与复数集的交集是实数集C 复数集与虚数集的交集是空集D 若实数a与ai对应 则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应解析 选项A中 0是实数也是复数 所以A不正确 选项B中 实数集与复数集的交集是实数集 所以B正确 选项C中 复数集与虚数集的交集是虚数集 所以C不正确 选项D中 当a 0时 ai 0 所以实数0在纯虚数集中没有对应元素 所以D不正确 故选B 答案 B 解析 复数 2 i的实部是0 故选D 答案 D3 复数4 a2 1 a a2 i a R 是纯虚数 是 a 2 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析 因为1 a a2 所以若复数4 a2 1 a a2 i a R 是纯虚数 则4 a2 0 即a 2 当a 2时 4 a2 1 a a2 i 7i 为纯虚数 故是必要不充分条件 故选B 答案 B 4 已知复数z1 a 2b a b i z2 4b 2a 1 i a b R 当z1 z2时 a b 5 如果 m2 1 m2 2m i 0 求实数m的值