2019高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第1课时）课件 北师大版选修2-3.ppt

第一章计数原理 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 第1课时 一 二 一 分类加法计数原理完成一件事 可以有n类办法 在第一类办法中有m1种方法 在第二类办法中有m2种方法 在第n类办法中有mn种方法 那么 完成这件事共有N m1 m2 mn种方法 也称加法原理 一 二 名师点拨应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点 第一 明确题目中 完成一件事 所指的是什么事 怎么才算是完成这件事 完成这件事可以有哪些办法 第二 完成这件事的N种方法是相互独立的 无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事 而不需要再用到其他的方法 第三 确立恰当的分类标准 准确地对 这件事 进行分类 要求每一种方法必属于某一类办法 不同类办法的任意两种方法是不同的方法 也就是分类必须既 不重复 也 不遗漏 一 二 做一做1 把10个苹果分成3份 要求每份至少1个 至多5个 则不同的分法种数共有 A 5种B 6种C 4种D 3种解析由于分成3份 每份至少1个 至多5个 故有一份1个苹果 其余两份只能选一份5个 一份4个 有一份2个苹果 则其余两份可能一份5个 一份3个 或两份都是4个 有一份3个苹果 则其余两份只能是一份4个 一份3个 所以共有1 2 1 4 种 答案C 一 二 二 分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤 缺一不可 做第一步有m1种方法 做第二步有m2种方法 做第n步有mn种方法 那么 完成这件事共有N m1 m2 mn种方法 也称乘法原理 一 二 名师点拨应用分步乘法计数原理要注意的问题 1 明确题目中所指的 完成一件事 是什么事 单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的 也就是说必须要经过几步才能完成这件事 2 完成这件事需要分成若干个步骤 只有每个步骤都完成了 才算完成这件事 缺少哪一步骤 这件事都不可能完成 3 根据题意正确分步 要求各步之间必须连续 只有按照这几步逐步地去做 才能完成这件事 各步骤之间既不能重复也不能遗漏 一 二 做一做2 2014年南京青奥会是世界体坛的一大盛事 一名志愿者从沈阳赶赴南京为游客提供导游服务 但需在北京停留 已知从沈阳到北京每天有7个航班 从北京到南京每天有6列火车 该志愿者从沈阳到南京共有 种不同的方法 A 13B 42C 7D 6解析根据乘法原理 该志愿者从沈阳到南京的不同方法共有6 7 42种 答案B 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 在分类加法计数原理中 某两类不同方案中的方法可以相同 2 在分类加法计数原理中 每类方案中的方法都能直接完成这件事 3 在分步乘法计数原理中 只有各步骤都完成后 这件事情才算完成 4 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 高三 一班有学生50人 男30人 女20人 高三 二班有学生60人 男30人 女30人 高三 三班有学生55人 男35人 女20人 1 从高三 一班 二班或三班中选一名学生任校学生会主席 有多少种不同的选法 2 从高三 一班 二班男生中 或从高三 三班女生中选一名学生任校学生会体育部长 有多少种不同的选法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析所谓 完成一件事 有几类方案 是指对完成这件事情的所有方案的一个分类 利用分类加法计数原理求解 解 1 分三类 第一类选法 从高三 一班中任选一名 有50种不同的方法 第二类选法 从高三 二班中任选一名 有60种不同的方法 第三类选法 从高三 三班中任选一名 有55种不同的方法 根据分类加法计数原理 得50 60 55 165种 因此共有165种不同的选法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 分三类 第一类选法 从高三 一班男生中任选一名 有30种不同的方法 第二类选法 从高三 二班男生中任选一名 有30种不同的方法 第三类选法 从高三 三班女生中任选一名 有20种不同的方法 根据分类加法计数原理 得30 30 20 80种 故共有80种不同的选法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟运用分类加法计数原理时 首先要依据问题的特征 确定恰当的分类标准 然后在这个标准下进行分类 分类应满足 完成一件事的任何一种方法 必须属于某一类而且仅属于这一类 即各类办法是互斥的 相互独立的 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1某班有男生26人 女生22人 从中选一位同学为数学课代表 则不同选法的种数为 A 22B 26C 48D 572解析 由分类加法计数原理可知不同选法有26 22 48 种 答案 C 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目 在下列情况下各有多少种不同的报名方法 不一定六名同学都能参加 1 每人恰好参加一项 每项人数不限 2 每项限报一人 且每人至多参加一项 3 每项限报一人 但每人参加的项目不限 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项 各有3种不同的报名方法 根据分步乘法计数原理 可得不同的报名方法共有36 729种 2 每项限报一人 且每人至多参加一项 因此可由项目选人 第一个项目有6种选法 第二个项目有5种选法 第三个项目只有4种选法 根据分步乘法计数原理 可得不同的报名方法共有6 5 4 120种 3 每人参加的项目不限 因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛 根据分步乘法计数原理 可得不同的报名方法共有6 6 6 216种 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 一是要按照事件发生的过程合理分步 即分步是有先后顺序的 二是各步中的方法互相依存 缺一不可 只有各个步骤都完成才算完成这件事 2 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2在运动会比赛中 8名男运动员参加100米决赛 其中甲 乙 丙三人必须在1 2 3 4 5 6 7 8八条跑道的奇数号跑道上 则安排这8名运动员比赛的方式共有种 解析分两步安排这8名运动员 第一步 安排甲 乙 丙三人 共有1 3 5 7四条跑道可安排 故安排方式有4 3 2 24 种 第二步 安排另外5人 可在2 4 6 8及余下的一条奇数号跑道安排 所以安排方式有5 4 3 2 1 120 种 故安排这8人的方式共有24 120 2880 种 答案2880 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 从0 1 2 3 4 5共六个数字中取四个数字组成一个四位数 问 1 总共能组成多少个四位数 2 在 1 中所有的四位数中 则能被5整除的四位数有多少个 分析 1 要完成的一件事是组成四位数 所以首位数字不能是0 2 要使所组成的数字能被5整除 则末位数字必须是0和5中的一个 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 第一步 千位上的数不能取0 只能取1 2 3 4 5 共5种情形 第二步 因为千位取了一个数 还剩下5个数字供百位上取 所以有5种情形 第三步 因为千位 百位分别取了一个数 还剩下4个数字供十位上取 所以有4种情形 第四步 因为千位 百位 十位分别取了一个数 还剩下3个数字供个位上取 所以有3种情形 根据分步乘法计数原理 取得的四位数总共有5 5 4 3 300个 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 因为四位数能被5整除 所以个位数字只能是0或5 第一类情形 当个位数字为0时 依次取千位数字 百位数字 十位数字 分别有5种情形 4种情形 3种情形 所以共计有5 4 3 60个四位数 第二类情形 当个位数字为5时 依次取千位数字 百位数字 十位数字 分别有4种情形 4种情形 3种情形 所以共计有4 4 3 48个四位数 根据分类加法计数原理 能被5整除的四位数总共有60 48 108个 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用两个计数原理解题的思路 1 当题目无从下手时 可考虑分类完成这件事 2 分类时标准要明确 做到不重不漏 有时要恰当画出示意图或树形图 使问题的分析更直观 清楚 便于探索规律 3 混合问题一般是先分类再分步 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3有甲 乙 丙三个盒子 分别装有除颜色外都一样的红色小球6个 白色小球5个 黄色小球4个 从中取两个小球 球的颜色互不相同的取法有多少种 解分三类 每一类又分两步 第一类 从甲 乙两个盒子中分别取一个小球 有6 5 30种不同的取法 第二类 从乙 丙两个盒子中分别取一个小球 有5 4 20种不同的取法 第三类 从丙 甲两个盒子中分别取一个小球 有4 6 24种不同的取法 根据分类加法计数原理知共有30 20 24 74种取法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视限制条件而致误 典例 有3张卡片的正 反两面上分别写有1和2 4和5 8和9 将它们并排组成三位数 共有多少个不同的三位数 易错分析计数原理出错的主要原因有两种 一是混淆分步乘法和分类加法 二是忽视题干所隐含的客观限制条件而致误 解分三步进行 第一步 确定个位上数字有6种选法 第二步 确定十位上数字 因个位上数字已定 其反面数字不能选取 只能从剩余的2张卡片中选取 有4种选法 第三步 确定百位上数字 只能从剩余的1张卡片中选取 有2种选法 由分步乘法计数原理知 共有6 4 2 48 个 不同的三位数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得1 正确分清是分类问题还是分步问题 选用加法计数原理还是乘法计数原理 2 要正确认识题目的条件 本题是有约束条件的问题 即同一张卡片的两数在同一个三位数中不能同时出现 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练一个旅游景区的游览线路如图所示 某人从点P处进 点Q处出 沿图中线路游览A B C三个景点及沿途风景 则不重复 除交汇点O外 的不同游览线路有 A 6种B 8种C 12种D 48种 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析从点P处进入交汇点O以后 游览每一个景点所走环形路线都有2条 若先游览完A景点 再进入另外两个景点 最后从点Q处出 有2 2 2 2 16种不同的方法 同理 若先游览B景点 有16种不同的方法 若先游览C景点 有16种不同的方法 因而所求的不同游览线路有3 16 48种 答案D 1 2 3 4 1 将2名教师 4名学生分成2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 不同的安排方案共有 A 12种B 10种C 9种D 8种解析分到甲地 第一步选1名教师 有2种方法 第二步选2名学生 有6种方法 第三步 剩下1名教师和2名学生分到乙地 有1种方法 由分步乘法计数原理知共有2 6 1 12种方法 故选A 答案A 1 2 3 4 2 已知ax2 b 0是关于x的一元二次方程 其中a b 1 2 3 4 则解集不同的一元二次方程的个数为 A 4B 6C 11D 16 1 2 3 4 3 有A B C三个城市 上午从A城去B城有5班汽车 2班火车 都能在12 00前到达B城 下午从B城去C城有3班汽车 2班轮船 某人上午从A城出发去B城 要求12 00前到达 然后他下午去C城 则不同的走法共有 种 A 12B 15C 35D 60解析 根据分类加法计数原理 上午从A城去B城 并在12 00前到达 共有5 2 7种不同的走法 下午从B城去C城 共有3 2 5种不同的走法 根据分步乘法计数原理 上午从A城去B城 然后下午从B城去C城 共有7 5 35种不同的走法 答案 C 1 2 3 4 4 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则报名方法共有种 解析这里是5位同学 设为甲 乙 丙 丁 戊 报名参加课外活动小组 因而完成这件事需要分5步 第一步 甲同学报名参加课外活动小组 有2种报名方法 第二步 乙同学报名参加课外活动小组 有2种报名方法 第五步 戊同学报名参加课外活动小组 有2种报名方法 根据乘法原理 满足条件的报名方法共有2 2 2 2 2 32种 答案32