2019高中数学 第一章 计数原理 1-2 模块复习课（第2课时）概率课件 北师大版选修2-3.ppt

第2课时概率 知识网络 要点梳理 超几何分布 二项分布 均值 方差 正态分布 3 原则 知识网络 要点梳理 1 离散型随机变量的分布列及性质 1 一般地 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1 x2 xi xn X取每一个值xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 则表称为离散型随机变量X的概率分布列 2 离散型随机变量的分布列的性质 pi 0 i 1 2 n p1 p2 pn 1 知识网络 要点梳理 知识网络 要点梳理 3 事件的相互独立性 1 对于事件A B 若A的发生与B的发生互不影响 则称A B是相互独立事件 2 若A与B相互独立 则P B A P B P AB P B A P A P A P B 4 若P AB P A P B 则A与B相互独立 知识网络 要点梳理 4 独立重复试验与二项分布 1 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的 各次之间相互独立的一种试验 在这种试验中每一次试验只有两种结果 即要么发生 要么不发生 且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的 知识网络 要点梳理 知识网络 要点梳理 知识网络 要点梳理 7 均值与方差的性质 1 E aX b aEX b 2 D aX b a2DX a b为常数 8 两点分布与二项分布的均值 方差 1 若X服从两点分布 则EX p DX p 1 p 2 若X B n p 则EX np DX np 1 p 知识网络 要点梳理 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 抛掷均匀硬币一次 出现正面的次数是随机变量 2 若随机变量X的分布列由下表给出 则它服从两点分布 3 在离散型随机变量的概率分布列中 各个概率之和可以小于1 4 从4名男演员和3名女演员中选出4名 其中女演员的人数X服从超几何分布 答案 1 2 3 4 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一条件概率和相互独立事件的概率 例1 一个盒子装有4个产品 其中有3个一等品 1个二等品 从中取产品两次 每次任取一个 做不放回抽样 设事件A为 第一次取到的是一等品 事件B为 第二次取到的是一等品 试求条件概率P B A 解将产品编号1 2 3号为一等品 4号为二等品 以 i j 表示第一次 第二次分别取到第i号 第j号产品 则试验的样本空间为 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 4 1 4 2 4 3 A 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 AB 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 1 分别求出甲 乙 丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率 2 从甲 乙 丙加工的零件中各取一个检验 求至少有一个一等品的概率 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 2 解决概率问题要注意 三个步骤 一个结合 1 求概率的步骤是 第一步 确定事件性质 第二步 判断事件的运算 第三步 运用公式 2 概率问题常常与排列组合问题相结合 3 求解相互独立事件同时发生的概率时 要注意以下几个问题 1 P AB P A P B 是判断事件是否相互独立的充要条件 也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具 2 涉及 至多 至少 恰有 等字眼的概率问题 务必分清事件间的相互关系 3 公式常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 跟踪训练1在某次1500米体能测试中 甲 乙 丙三人各自通过测试的概率分别为 1 3人都通过体能测试的概率 2 恰有2人通过体能测试的概率 3 恰有1人通过体能测试的概率 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二离散型随机变量的分布列 例3 某校校庆 各届校友纷至沓来 某班共来了n位校友 n 8且n N 其中女校友6位 组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单 现随机从中选出2位校友代表 若选出的2位校友是一男一女 则称为 最佳组合 1 若随机选出的2位校友代表为 最佳组合 的概率不小于 求n的最大值 2 当n 12时 设选出的2位校友代表中女校友人数为X 求X的分布列 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 反思感悟求离散型随机变量的分布列时 要解决以下两个问题 1 求出X的所有取值 并明确其含义 2 求出X取每一个值时的概率 求概率是难点 也是关键 一般要联系排列 组合知识 古典概型 互斥事件 相互独立事件的概率等知识进行解决 同时还应注意超几何分布 二项分布等特殊分布模型 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 跟踪训练2某一随机变量X的分布列为 则mn的最大值为 A 0 8B 0 2C 0 08D 0 6解析 由分布列的性质知m 0 1 2n 0 1 且0 1 m 2n 0 1 1 即m 2n 0 8 m n 0 8 2n n 0 8n 2n2 2 n 0 2 2 0 08 所以当n 0 2时 m n的最大值为0 08 答案 C 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题三离散型随机变量的均值与方差 例4 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子 骰子质地均匀 且各面分别刻有1 2 2 3 3 3六个数字 1 设随机变量 表示一次掷得的点数和 求 的分布列 2 若连续投掷10次 设随机变量 表示一次掷得的点数和大于5的次数 求E D 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 反思感悟1 含义 均值和方差分别反映了随机变量的平均水平及其稳定性 2 应用范围 均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛 如同等资本下比较收益的高低 相同条件下比较质量的优劣 性能的好坏等 3 求解思路 应用时 先要将实际问题数学化 然后求出随机变量的概率分布列 同时要注意运用二项分布等特殊分布的均值 方差公式以及均值与方差的线性性质 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 跟踪训练3某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛 需要从两名选手中选出一人参加 为此 设计了一个挑选方案 选手从6道备选题中一次性随机抽取3题 通过考查得知 6道备选题中选手甲有4道题能够答对 2道题答错 选手乙答对每题的概率都是 且各题答对与否互不影响 设选手甲 选手乙答对的题数分别为 1 写出 的概率分布列 不要求计算过程 并求出E E 2 求D D 请你根据得到的数据 建议该单位派哪个选手参加竞赛 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题四正态分布 例5 某市去年高考考生成绩服从正态分布N 500 502 现有25000名考生 试确定考生成绩在550 600分的人数 解 考生成绩X N 500 502 500 50 反思感悟1 有关正态分布概率的计算应转化为三个特殊区间内取值的概率 因此要熟记三个特殊区间及相应概率 2 从正态曲线可以看出 曲线的形状由参数 确定 越大 曲线越 矮胖 越小 曲线越 高瘦 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 跟踪训练4已知随机变量X服从正态分布N 2 且P 2 X 2 0 954 P X 0 683 若 4 1 则P 5 X 6 A 0 1358B 0 1355C 0 2716D 0 271 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 解析 由题意知X N 4 1 作出相应的正态曲线 如图 依题意P 2 X 6 0 954 P 3 X 5 0 683 即曲边梯形ABCD的面积为0 954 曲边梯形EFGH的面积为0 683 其中A E F B的横坐标分别是2 3 5 6 由曲线关于直线x 4对称 可知曲边梯形FBCG的面积为答案 B 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 考点一条件概率与独立事件1 2015 课标 高考 投篮测试中 每人投3次 至少投中2次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中的概率为0 6 且各次投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的概率为 A 0 648B 0 432C 0 36D 0 312解析 由条件知该同学通过测试 即3次投篮投中2次或投中3次 答案 A 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2017 天津高考 从甲地到乙地要经过3个十字路口 设各路口信号灯工作相互独立 且在各路口遇到红灯的概率分别为 1 记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 求随机变量X的分布列和数学期望 2 若有2辆车独立地从甲地到乙地 求这2辆车共遇到1个红灯的概率 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2015 课标 高考 某公司为了解用户对其产品的满意度 从A B两地区分别随机调查了20个用户 得到用户对产品的满意度评分如下 A地区 6273819295857464537678869566977888827689B地区 7383625191465373648293486581745654766579 1 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图 并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 不要求计算出具体值 给出结论即可 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 根据用户满意度评分 将用户的满意度从低到高分为三个等级 记事件C A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级 假设两地区用户的评价结果相互独立 根据所给数据 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 求C的概率 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 1 两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出 A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值 A地区用户满意度评分比较集中 B地区用户满意度评分比较分散 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 考点二二项分布改编4 2017 课标 高考 一批产品的二等品率为0 02 从这批产品中每次随机取一件 有放回地抽取100次 X表示抽到的二等品件数 则DX 解析 由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布 即X B 100 0 02 其中p 0 02 n 100 则DX np 1 p 100 0 02 0 98 1 96 答案 1 96 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2015 广东高考 已知随机变量X服从二项分布B n p 若EX 30 DX 20 则p 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 考点三离散型随机变量的均值与方差6 2016 四川高考 同时抛掷两枚质地均匀的硬币 当至少有一枚硬币正面向上时 就说这次试验成功 则在2次试验中成功次数X的均值是 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2017 课标 高考 某超市计划按月订购一种酸奶 每天进货量相同 进货成本每瓶4元 售价每瓶6元 未售出的酸奶降价处理 以每瓶2元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验 每天需求量与当天最高气温 单位 有关 如果最高气温不低于25 需求量为500瓶 如果最高气温位于区间 20 25 需求量为300瓶 如果最高气温低于20 需求量为200瓶 为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六月份各天的最高气温数据 得下面的频数分布表 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 1 求六月份这种酸奶一天的需求量X 单位 瓶 的分布列 2 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y 单位 元 当六月份这种酸奶一天的进货量n 单位 瓶 为多少时 Y的数学期望达到最大值 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 由题意知 这种酸奶一天的需求量至多为500 至少为200 因此只需考虑200 n 500 当300 n 500时 若最高气温不低于25 则Y 6n 4n 2n 若最高气温位于区间 20 25 则Y 6 300 2 n 300 4n 1200 2n 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若最高气温低于20 则Y 6 200 2 n 200 4n 800 2n 因此EY 2n 0 4 1200 2n 0 4 800 2n 0 2 640 0 4n 当200 n 300时 若最高气温不低于20 则Y 6n 4n 2n 若最高气温低于20 则Y 6 200 2 n 200 4n 800 2n 因此EY 2n 0 4 0 4 800 2n 0 2 160 1 2n 所以n 300时 Y的数学期望达到最大值 最大值为520元 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 课标 高考 某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率 2 若一续保人本年度的保费高于基本保费 求其保费比基本保费高出60 的概率 3 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 解 1 设A表示事件 一续保人本年度的保费高于基本保费 则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1 故P A 0 2 0 2 0 1 0 05 0 55 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 课标 高考 某公司计划购买2台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率 记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数 n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 1 求X的分布列 2 若要求P X n 0 5 确定n的最小值 3 以购买易损零件所需费用的均值为决策依据 在n 19与n 20之中选其一 应选用哪个 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 1 由柱状图并以频率代替概率可得 一台机器在三年内需更换的易损零件数为8 9 10 11的概率分别为0 2 0 4 0 2 0 2 从而P X 16 0 2 0 2 0 04 P X 17 2 0 2 0 4 0 16 P X 18 2 0 2 0 2 0 4 0 4 0 24 P X 19 2 0 2 0 2 2 0 4 0 2 0 24 P X 20 2 0 2 0 4 0 2 0 2 0 2 P X 21 2 0 2 0 2 0 08 P X 22 0 2 0 2 0 04 所以X的分布列为 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 由 1 知P X 18 0 44 P X 19 0 68 故n的最小值为19 3 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 当n 19时 EY 19 200 0 68 19 200 500 0 2 19 200 2 500 0 08 19 200 3 500 0 04 4040 当n 20时 EY 20 200 0 88 20 200 500 0 08 20 200 2 500 0 04 4080 可知当n 19时所需费用的均值小于n 20时所需费用的均值 故应选n 19 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 山东高考 甲 乙两人组成 星队 参加猜成语活动 每轮活动由甲 乙各猜一个成语 在一轮活动中 如果两人都猜对 则 星队 得3分 如果只有一人猜对 则 星队 得1分 如果两人都没猜对 则 星队 得0分 已知甲每轮猜对的概率是 每轮活动中甲 乙猜对与否互不影响 各轮结果亦互不影响 假设 星队 参加两轮活动 求 1 星队 至少猜对3个成语的概率 2 星队 两轮得分之和X的分布列和均值EX 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 考点四正态分布11 2015 湖北高考 设X N 1 Y N 2 这两个正态分布密度曲线如图所示 下列结论中正确的是 A P Y 2 P Y 1 B P X 2 P X 1 C 对任意正数t P X t P Y t D 对任意正数t P X t P Y t 解析 由曲线X的对称轴为x 1 曲线Y的对称轴为x 2 可知 2 1 P Y 2 P X 1 故B错 对任意正数t 由题中图像知 P X t P Y t 故C正确 D错 答案 C 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2015 山东高考 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布N 0 32 从中随机取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布N 2 则P 68 26 P 2 2 95 44 A 4 56 B 13 59 C 27 18 D 31 74 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 B 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 2017 课标 高考 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程 检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件 并测量其尺寸 单位 cm 根据长期生产经验 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N 2 1 假设生产状态正常 记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 3 3 之外的零件数 求P X 1 及X的数学期望 2 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 3 3 之外的零件 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 1 抽取的一个零件的尺寸在 3 3 之内的概率为0 9974 从而零件的尺寸在 3 3 之外的概率为0 0026 故X B 16 0 0026 因此P X 1 1 P X 0 1 0 997416 0 0408 X的数学期望为EX 16 0 0026 0 0416 2 如果生产状态正常 一个零件尺寸在 3 3 之外的概率只有0 0026 一天内抽取的16个零件中 出现尺寸在 3 3 之外的零件的概率只有0 0408 发生的概率很小 因此一旦发生这种情况 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 可见上述监控生产过程的方法是合理的 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13