2019届高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题2 三角函数及解三角形 2.2.2 三角恒等变换与解三角形课件.ppt

第2课时三角恒等变换与解三角形 热点考向一三角恒等变换及求值考向剖析 本考向考查形式为选择题 填空题或解答题 主要考查利用三角恒等变换公式解决与三角函数相关的问题以及利用正 余 弦定理解三角形问题 考查数学运算与逻辑推理能力 多为基础题 中档题 分数为5 12分 2019年的高考仍将以选择题 填空题或解答题的形式考查 考查知识点仍将以三角公式及正 余 弦定理为主要内容来考查 典例1 1 2016 全国卷 若则sin2 2 2018 濮阳一模 设0 90 若sin 75 2 则sin 15 sin 75 解析 1 选D 因为 2 选B sin 75 cos 15 所以原式等于sin 15 cos 15 sin 30 2 而sin 30 2 sin 75 2 45 sin 75 2 cos 75 2 75 75 2 255 又因为sin 75 2 0 所以180 75 2 255 可求得cos 75 2 所以sin 30 2 sin 75 2 cos 75 2 所以 易错警示 解答本题易出现以下两种错误 一是忽略角之间的关系 找不到解题思路 二是运算错误 得出错误结论或没有正确选项 名师点睛 1 化简求值的方法与思路 1 方法 采用 切化弦 弦化切 来减少函数的种类 做到三角函数名称的统一 通过三角恒等变换 化繁为简 便于化简求值 2 基本思路 找差异 化同名 同角 化简求值 2 解决条件求值问题的三个关注点 1 分析已知角和未知角之间的关系 正确地用已知角来表示未知角 2 正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示 3 求解三角函数中给值求角的问题时 要根据已知求这个角的某种三角函数值 然后结合角的取值范围 求出角的大小 考向精练 1 2018 广州一模 已知则cos2 sin2 的值是 解析 选A 解得tan 2 cos2 sin2 cos2 sin cos 2 2018 芜湖一模 若则sin2 解析 选C 因为所以即2 cos sin sin2 两边平方得 4 1 sin2 3sin22 即3sin22 4sin2 4 0 解上式得 sin2 2 舍去 或sin2 加练备选 1 已知 解析 选B 故 sin cos 2 已知cos2 sin 则 cos4 解析 选D 由cos2 sin 1 sin2 可得 热点考向二正弦定理与余弦定理的应用 类型一利用正 余弦定理进行边 角 面积的计算 典例2 2017 全国卷 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知 ABC的面积为 1 求sinBsinC 2 若6cosBcosC 1 a 3 求 ABC的周长 大题小做 解析 1 因为 ABC面积且S bcsinA 所以 bcsinA 所以a2 bcsin2A 由正弦定理得sin2A sinBsinCsin2A 由sinA 0得sinBsinC 2 由 1 得sinBsinC 又cosBcosC 因为A B C 所以又因为 所以A sinA cosA 由余弦定理得a2 b2 c2 bc 9 由正弦定理得b sinB c sinC 所以bc sinBsinC 8 由 得b c 所以a b c 3 即 ABC的周长为3 探究追问 1 问题 2 中的条件不变 求 ABC的面积 解析 由cosBcosC 和sinBsinC 得 cosBcosC sinBsinC 即cos B C 所以B C 所以A 所以 ABC的面积为 2 问题 2 中的条件不变 求 ABC中BC边上高的长 解析 由上可知 ABC的面积为2 又因为S ABC BC hBC 所以2 3hBC 所以hBC 类型二应用正 余弦定理解决实际问题 典例3 如图 岛A C相距10海里 上午9点整有一客轮在岛C的北偏西40 且距岛C10海里的D处 沿直线方向匀速开往岛A 在岛A停留10分钟后前往B市 上午9 30测得客轮位于岛C的北偏西70 且距岛C10海 里的E处 此时小张从岛C乘坐速度为v海里 小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市 1 若v 0 30 问小张能否乘上这班客轮 2 现测得cos BAC sin ACB 已知速度为v海里 小时 v 0 30 的小艇每小时的总费用为元 若小张由岛C直接乘小艇去B市 则至少需要多少费用 世纪金榜导学号 大题小做 解析 1 根据题意得 CD 10 CE 10 AC 10 DCE 70 40 30 在 CDE中 由余弦定理得 所以客轮的航行速度为10 2 20 海里 小时 因为CD DE 所以 DEC DCE 30 所以 AEC 180 30 150 在 ACE中 由余弦定理得 AC2 AE2 CE2 2AE CE cos AEC 整理得 AE2 30AE 400 0 解得AE 10或AE 40 舍去 所以客轮从E处到岛A所用的时间小时 小张到岛A所用的时间至少为小时 由于t2 t1 所以若小张9点半出发 则无法乘上这班客轮 2 在 ABC中 cos BAC sin ACB 所以 ACB为锐角 sin BAC cos ACB 所以sinB sin 180 BAC ACB sin BAC ACB sin BACcos ACB cos BACsin ACB 由正弦定理得 所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为当且仅当 即v 10时 f v min 165 元 所以若小张由岛C直接乘小艇去B市 其费用至少需165元 名师点睛 1 正 余弦定理的适用条件 1 已知两角和一边 或 已知两边和其中一边的对角 应采用正弦定理 2 已知两边和这两边的夹角 或 已知三角形的三边 应采用余弦定理 2 解三角形应用题的几种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解条件充分的三角形 然后逐步求解其他三角形 3 设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 4 涉及四边形等非三角形图形时 可以作辅助线 将图形分割成三角形后求解 考向精练 1 2017 全国卷 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知sin A C 8sin2 1 求cosB 2 若a c 6 ABC的面积为2 求b 解析 1 由题设及A B C 得sinB 8sin2 故sinB 4 1 cosB 上式两边平方 整理得17cos2B 32cosB 15 0 解得cosB 1 舍去 cosB 2 由cosB 得sinB 故S ABC acsinB ac 又S ABC 2 则ac 由余弦定理及a c 6得b2 a2 c2 2accosB a c 2 2ac 1 cosB 36 2 4 所以b 2 2 某学校的平面示意图为如图五边形区域ABCDE 其中三角形区域ABE为生活区 四边形区域BCDE为教学区 AB BC CD DE EA BE为学校的主要道路 不考虑宽度 BCD CDE BAE DE 3BC 3CD km 世纪金榜导学号 1 求道路BE的长度 2 求生活区 ABE面积的最大值 解析 1 连接BD 在 BCD中 由余弦定理得 BD2 BC2 CD2 2BC CDcos BCD 所以BD 因为BC CD 所以 CDB CBD 又 CDE 所以 BDE 在Rt BDE中 2 设 ABE 因为 BAE 所以 AEB 在 ABE中 由正弦定理 得所以所以 因为0 所以当2 即 时 S ABE取得最大值为 即生活区 ABE面积的最大值为 加练备选 如图 有一个码头P和三个岛屿A B C PC 30nmile PB 90nmile AB 30nmile PCB 120 ABC 90 1 求B C两个岛屿间的距离 2 某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩 然后返回码头P 问该游船应按何路线航行 才能使得总航程最短 求出最短航程 解析 1 在 PBC中 PB 90 PC 30 PCB 120 由正弦定理得 又因为在 PBC中 0 PBC 60 所以 PBC 30 所以 BPC 30 从而BC PC 30 即B C两个岛屿间的距离为30nmile 2 因为 ABC 90 PBC 30 所以 PBA ABC PBC 90 30 60 在 PAB中 PB 90 AB 30 由余弦定理得 根据 两点之间线段最短 可知 最短航线是 P A B C P 或 P C B A P 其航程为S PA AB BC CP 30 30 30 30 30 60 30 所以应按航线 P A B C P 或 P C B A P 航行 其航程为 热点考向三与解三角形有关的交汇问题考向剖析 本考向考查形式为三种题型都可能会出现 主要考查以三角恒等变换 正 余弦定理为解题工具 常与三角函数 数列 向量 不等式等交汇命题 考查学生灵活运用知识进行逻辑推理 数学运算的能力 2019年的高考仍将以选择题 填空题或解答题的形式考查 典例4 1 在 ABC中 角A B C所对的的边分别是a b c 且a b c成等差数列 则角B的取值范围是 2 在 ABC中 角A B C所对的边分别是a b c 满足4acosB bcosC ccosB 求cosB的值 若 3 b 3 求a和c的值 解析 1 选B 因为a b c成等差数列 所以2b a c 在 ABC中 由余弦定理得 由基本不等式所以所以B的取值范围是 2 由题意得 4sinAcosB sinBcosC sinCcosB 所以4sinAcosB sinBcosC sinCcosB sin B C sinA 因为sinA 0 所以cosB 由 3得accosB 3 ac 12 由b2 a2 c2 2accosB b 3可得a2 c2 24 所以 a c 2 0 a c 代入ac 12可得a c 2 名师点睛 与解三角形有关的交汇问题的关注点1 根据条件恰当选择正弦 余弦定理完成边角互化 2 结合内角和定理 面积公式等 灵活运用三角恒等变换公式 考向精练 已知向量m sinx 1 向量函数 1 求f x 的最小正周期T 2 已知a b c分别为 ABC内角A B C的对边 A为锐角 a 2 c 4 且恰是f x 在上的最大值 求A和b的值 解析 1 2 由 1 知 所以当时 当2x 时f x 取得最大值3 此时x 由f A 3得A 由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosA 所以12 b2 16 2 4b 即b2 4b 4 0 则b 2 加练备选 已知向量b sinx sinx f x a b 1 求函数f x 的最小正周期及f x 的最大值 2 在锐角 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若 1 a 2 求 ABC面积的最大值 解析 1 易得a sinx cosx 则f x a b sin2x sinxcosx cos2x sin2x sin 2x 所以f x 的最小正周期T 当2x 2k k Z时 即x k k Z 时 f x 取最大值是 2 因为所以 因为a2 b2 c2 2bccosA 所以12 b2 c2 bc 所以b2 c2 bc 12 2bc 所以bc 12 当且仅当b c时等号成立 所以S bcsinA bc 3 所以当 ABC为等边三角形时面积取最大值是3