高考数学一轮复习 第二章 函数 2.9 实际问题的函数建模课件 文 北师大版.ppt

2 9实际问题的函数建模 考纲要求 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 结合具体实例体会直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 几类函数模型及其增长差异 1 几类函数模型 2 指数 对数 幂函数模型性质比较 2 3 4 1 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 幂函数增长比一次函数增长更快 2 在 0 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度会超过并远远大于y x 0 的增长速度 3 指数函数模型 一般用于解决变化较快 短时间内变化量较大的实际问题 4 当a 1时 不存在实数x0 使 5 对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律 2 3 4 1 5 2 下列函数中 随x的增大 y的增长速度最快的是 A B y 100lnxC y x100D y 1002x 答案 2 3 4 1 5 3 在某种新型材料的研制中 实验人员获得了下列一组实验数据 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律 其中最接近的一个是 A y 2x 2B y x2 1 C y log3xD y 2x 2 答案 解析 2 3 4 1 5 4 2015郑州模拟 为了保证信息安全 传输必须使用加密方式 有一种方式其加密 解密原理如下 已知加密为y ax 2 x为明文 y为密文 如果明文 3 通过加密后得到密文为6 再发送 接收方通过解密得到明文 3 若接收方接到密文为 14 则原发的明文是 答案 解析 2 3 4 1 5 5 某企业投入100万元购入一套设备 该设备每年的运转费用是0 5万元 此外每年都要花费一定的维护费 第一年的维护费为2万元 由于设备老化 以后每年的维护费都比上一年增加2万元 为使该设备年平均费用最低 该企业需要更新设备的年数为 答案 解析 2 3 4 1 5 自测点评1 直线上升 是匀速增长 其增长量固定不变 指数增长 先慢后快 其增长量成倍增加 常用 指数爆炸 来形容 对数增长 先快后慢 其增长速度缓慢 2 充分理解题意 并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键 3 易忽视实际问题的自变量的取值范围 需合理确定函数的定义域 必须验证数学结果对实际问题的合理性 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点1一次函数与二次函数模型例1 1 2015山西大同模拟 某电信公司推出两种手机收费方式 甲种方式是月租20元 乙种方式是月租0元 一个月的本地网内打出电话时间t 单位 分钟 与打出电话费s 单位 元 的函数关系如图 当打出电话150分钟时 这两种方式的电话费相差 A 10元B 20元C 30元D 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 李华经营了两家电动轿车销售连锁店 其月利润 单位 元 分别为L1 5x2 900 x 16000 L2 300 x 2000 其中x为销售辆数 若某月两连锁店共销售了110辆 则能获得的最大利润为 A 11000B 22000C 33000D 40000 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 生活中常见的哪些问题的两变量之间是二次函数关系 解题心得 1 在现实生活中 很多问题的两个变量之间的关系是一次函数模型 其增长特点是直线上升 自变量系数大于0 或直线下降 自变量系数小于0 2 有些问题的两变量之间是二次函数关系 如面积问题 利润问题 产量问题等 构建二次函数模型 利用二次函数的图像与单调性解决 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练1某企业生产A B两种产品 根据市场调查与预测 A产品的利润与投资成正比 其关系如图 B产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图 注 利润和投资单位 万元 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 分别将A B两种产品的利润表示为投资的函数关系式 2 已知该企业已筹集到18万元资金 并将全部投入A B两种产品的生产 若平均投入生产两种产品 可获得多少利润 问 如果你是厂长 怎样分配这18万元投资 才能使该企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元 解 1 设A B两种产品分别投资x万元 x 0 所获利润分别为f x 万元 g x 万元 由题意可设f x k1x g x k2 根据图像可解得f x 0 25x x 0 g x 2 x 0 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点2分段函数模型例2某医药研究所开发的一种新药 如果成年人按规定的剂量服用 据监测 服药后每毫升血液中的含药量y 单位 g 与时间t 单位 h 之间的关系近似满足如图所示的曲线 1 写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y f t 2 据进一步测定 当每毫升血液中含药量不少于0 25 g时 治疗有效 求服药一次后治疗有效的时间 答案 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 分段函数模型适合哪些问题 解题心得 1 在现实生活中 很多问题的两变量之间的关系 不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构成分段函数 如出租车票价与路程之间的关系 就是分段函数 2 分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其作为几个不同问题 将各段的规律找出来 再将其合在一起 要注意各段变量的范围 特别是端点 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练2 2015湖南岳阳模拟 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元 此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元 年产量为x x N 件 当x 20时 年销售总收入为 33x x2 万元 当x 20时 年销售总收入为260万元 记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元 则y 万元 与x 件 的函数关系式为 该工厂的年产量为件时 所得年利润最大 年利润 年销售总收入 年总投资 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点3指数型 对数型函数模型例3某城市现有人口总数为100万人 如果年自然增长率为1 2 试解答以下问题 1 写出该城市人口总数y 单位 万人 与年份x 单位 年 的函数关系式 2 计算10年以后该城市人口总数 精确到0 1万人 3 计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人 精确到1年 1 01210 1 127 1 01215 1 196 1 01216 1 210 log1 0121 2 15 3 解 1 1年后该城市人口总数为y 100 100 1 2 100 1 1 2 2年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 3年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 2 100 1 1 2 2 1 2 100 1 1 2 3 x年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 x 所以该城市人口总数y 万人 与年份x 年 的函数关系式是y 100 1 1 2 x 2 10年后该城市人口总数为100 1 1 2 10 112 7 万 所以10年后该城市人口总数约为112 7万 3 设x年后该城市人口将达到120万人 即100 1 1 2 x 120 于是所以 log1 0121 2 15 3 15 年 即大约15年后该城市人口总数将达到120万人 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 哪些实际问题适合用指数函数模型解决 解题心得 1 在实际问题中 有关人口增长 银行利率 细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示 通常可以表示为y N 1 p x 其中N为基础数 p为增长率 x为时间 的形式 解题时 往往用到对数运算 要注意与已知表格中给定的值对应求解 2 有关对数型函数的应用题 一般都会给出函数解析式 要求根据实际情况求出函数解析式中的参数 或给出具体情境 从中提炼出数据 代入解析式求值 然后根据值回答其实际意义 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练3声强级Y 单位 分贝 由公式给出 其中I为声强 单位 W m2 1 平常人交谈时的声强约为10 6W m2 求其声强级 2 一般常人能听到的最低声强级是0分贝 求能听到的最低声强为多少 3 比较理想的睡眠环境要求声强级Y 50分贝 已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5 10 7W m2 问这两位同学是否会影响其他同学休息 答案 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 解函数应用问题的步骤 四步八字 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 解模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学结论还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下 2 实际问题中往往涉及一些最值问题 我们可以利用二次函数的最值 函数的单调性 基本不等式等求得最值 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 解应用题的关键是审题 不仅要明白 理解问题讲的是什么 还要特别注意一些关键的字眼 如 几年后 与 第几年 学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读 导致题目不会做或函数解析式写错 2 解应用题建模后一定要注意定义域 3 解决完数学模型后 注意转化为实际问题写出总结答案