高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件新人教版.ppt

1 4生活中的优化问题举例 第一章导数及其应用 1 了解导数在解决实际问题中的作用 2 掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题 3 学会建立数学模型 并会求解数学模型 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一利用导数解决生活中的优化问题的步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和在f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 答案 思考 1 什么是优化问题 答案在生活中 人们常常遇到求使经营利润最大 用料最省 费用最少 生产效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 2 优化问题的常见类型有哪些 答案费用最省问题 利润最大问题 面积 体积最大问题等 知识点二解决优化问题的基本思路 思考解决生活中优化问题应注意什么 答案 1 当问题涉及多个变量时 应根据题意分析它们的关系 列出变量间的关系式 2 在建立函数模型的同时 应根据实际问题确定出函数的定义域 3 在实际问题中 由f x 0常常得到定义域内的根只有一个 如果函数在这点有极大值 极小值 那么不与端点处的函数值比较 也可以判断该极值就是最大值 最小值 4 求实际问题的最大 小 值时 一定要从问题的实际意义去考查 不符合实际意义的应舍去 例如 长度 宽度应大于0 销售价格为正数等 返回 答案 题型探究重点突破 题型一利润最大问题 解析答案 例1某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低售价 销售量就会增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x 单位 元 件 0 x 21 的平方成正比 已知每件商品的售价降低2元时 一星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数 解若每件商品单价降低x元 则一个星期多卖的商品数为kx2件 由已知条件得k 22 24 解得k 6 若记一个星期的商品销售利润为f x 则有f x 30 x 9 432 6x2 6x3 126x2 432x 9072 x 0 21 解析答案 反思与感悟 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解对 1 中函数求导得f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 12时 f x 取得极大值 f 0 9072 f 12 11664 30 12 18 元 故定价为每件18元能使一个星期的商品销售利润最大 反思与感悟 利润最大问题是生活中常见的一类问题 一般根据 利润 收入 成本 建立函数关系式 再利用导数求最大值 解此类问题需注意两点 价格要大于或等于成本 否则就会亏本 销量要大于0 否则不会获利 解析答案 解依题意 知每月生产x吨产品时的利润为 题型二面积 容积最值问题 解析答案 例2已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接 其中半圆的直径为2r 如果窗子的周长为10 求当半径r取何值时窗子的面积最大 反思与感悟 解设矩形的另一边长为x 半圆弧长为 r r 2r 2x 10 S 10 4 r 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 在解决面积 体积的最值问题时 要正确引入变量 将面积或体积表示为关于变量的函数 结合使实际问题有意义的变量的范围 利用导数求函数的最值 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2如图 将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN 要求B在AM上 D在AN上 且对角线MN过C点 AB 3m AD 2m 1 要使矩形AMPN的面积大于32m2 则AN的长应在什么范围内 2 当AN的长度是多少时 矩形AMPN的面积最小 并求出最小面积 3 若AN的长度不少于6m 则当AN的长度是多少时 矩形AMPN的面积最小 并求出最小面积 解析答案 解设AN的长为xm x 2 x 2 3x2 32x 64 0 即 3x 8 x 8 0 解析答案 2 设S矩形AMPN y 即当AN的长度为4m时 S矩形AMPN取得最小值24m2 即当AN的长度为6m时 S矩形AMPN取得最小值27m2 题型三成本最省问题 解析答案 例3甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过c千米 时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v 千米 时 的平方成正比 比例系数为b b 0 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v 千米 时 的函数 并指出这个函数的定义域 解析答案 反思与感悟 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 解析答案 反思与感悟 解由题意 s a b v均为正数 反思与感悟 此时y 0 即y在 0 c 上为减函数 所以当v c时 y最小 综上可知 为使全程运输成本y最小 选取合适的量做自变量 并根据实际确定其取值范围 正确列出函数关系式 然后利用导数求最值 其中把实际问题转化为数学问题 正确列出函数关系式是解题关键 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3工厂A到铁路的垂直距离为20km 垂足为B 铁路线上距离B处100km的地方有一个原料供应站C 现在要从BC段上的D处向工厂修一条公路 使得从原料供应站C到工厂A所需的运费最省 已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3 5 则D点应选在何处 解析答案 x 15 由实际问题可知 运输费用一定有最小值 而此函数有唯一极值点 故x 15时取最小值 故D点在距B点15km处最好 解析答案 因没有注意问题的实际意义而出错 易错点 例4某船由甲地逆水行驶到乙地 甲 乙两地相距s km 水的流速为常量a km h 船在静水中的最大速度为b km h b a 已知船每小时的燃料费用 以元为单位 与船在静水中的速度的平方成正比 比例系数为k 则船在静水中的航行速度为多少时 其全程的燃料费用最省 返回 防范措施 易错易混 错解设船在静水中的航行速度为xkm h 全程的燃料费用为y元 解析答案 令y 0 得x 2a或x 0 舍 所以f 2a 4ask 即当x 2a时 ymin 4ask 故当船在静水中的航行速度为2akm h时 燃料费用最省 错因分析这个实际问题的定义域为 a b 而x 2a为函数的极值点 是否在 a b 内不确定 所以需要分类讨论 否则会出现错误 防范措施 正解设船在静水中的航行速度为xkm h 全程的燃料费用为y元 令y 0 得x 2a或x 0 舍 1 当2a b时 若x a 2a y 0 f x 为减函数 若x 2a b 时 y 0 f x 为增函数 所以当x 2a时 ymin 4ask 解析答案 防范措施 当x a b 时 y 0 所以f x 在 a b 上是减函数 综上可知 若b 2a 则当船在静水中的速度为bkm h时 燃料费用最省 若b 2a 则当船在静水中的速度为2akm h时 燃料费用最省 防范措施 在运用导数解决实际问题的过程中 正确建立数学模型 找到实际问题中函数定义域的取值范围 返回 防范措施 当堂检测 1 2 3 4 5 1 内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为 解析答案 解析设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x 答案B 1 2 3 4 5 2 要做一个圆锥形的漏斗 其母线长为20cm 要使其体积最大 则高为 解析答案 1 2 3 4 5 答案D 1 2 3 4 5 3 一房地产公司有50套公寓要出租 当月租金定为1000元时 公寓会全部租出去 月租金每增加50元 就会多一套租不出去 而租出去的公寓每月需花费100元维修费 则月租金定为 元时可获得最大收入 解析答案 1800 解析设x套为没有租出去的公寓数 则收入函数f x 1000 50 x 50 x 100 50 x f x 1600 100 x 当x 16时 f x 取最大值 故把月租金定为1800元时收入最大 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 某公司一年购买某种货物900吨 每次都购买x吨 运费为4万元 次 一年的总存储费为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x 吨 30 解析设总运费与总存储费之和为y万元 解析答案 5 制作容积为256的方底无盖水箱 它的高为 时最省材料 1 2 3 4 5 4 解析设底面边长为x 高为h 则V x x2 h 256 令S x 0 解得x 8 课堂小结 返回 1 解应用题的思路方法 1 审题 阅读理解文字表达的题意 分清条件和结论 找出问题的主要关系 2 建模 将文字语言转化成数学语言 利用数学知识建立相应的数学模型 3 解模 把数学问题化归为常规问题 选择合适的数学方法求解 4 对结果进行验证评估 定性定量分析 做出正确的判断 确定答案 2 解决最优化问题首先要确定变量之间的函数关系 建立函数模型 要熟记常见函数模型 如二次函数模型 三次函数模型 分式函数模型 幂指对模型 三角函数模型等 3 除了变量之间的函数关系式外 实际问题中的定义域也很关键 一定要结合实际问题的意义确定定义域