2019-2020年高中物理第三章万有引力定律第3节万有引力定律的应用教学案教科版必修2.doc

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2019-2020年高中物理第三章万有引力定律第3节万有引力定律的应用教学案教科版必修21.根据万有引力理论预言了哈雷彗星再次出现的时间,推算出未知天体的轨道。2利用地球表面物体的重力等于地球对物体的万有引力,即mg,可以计算出地球的质量。3利用万有引力提供向心力,可以计算中心天体的质量。利用MR3,可以计算中心天体的平均密度。一、预言彗星回归1哈雷根据万有引力理论,对1682年出现的哈雷彗星的轨道运动进行了计算,指出了不同年份出现的情况,并预言了再次出现的时间。21743年,克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响,指出了运动经过近日点的时间。3总之,由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间,并且经过验证都是正确的。二、预言未知星体1英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶,根据天王星的观测资料,各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道。1846年9月23日晚,德国的伽勒在勒维耶预言的位置发现了这颗行星海王星。21930年,汤姆博夫根据海王星自身运动不规则性的记载发现了冥王星。三、计算天体质量1测量地球的质量若不考虑地球的自转,地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力。即有mgG,所以地球质量为M。2计算太阳的质量(1)基本思路:行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是它们间的万有引力提供的。测量出环绕周期T和环绕半径r。(2)公式:Gmr,由此可得太阳质量mS。1自主思考判一判(1)利用万有引力理论,可以预言哈雷彗星再次出现的时间。()(2)天王星、海王星、冥王星都是先理论预言其存在,后观测发现的行星。()(3)天王星是人们经过长期的太空观测而发现的。()(4)牛顿发现了万有引力定律,同时测出了地球的质量。()(5)只要测量出行星的公转周期及它和太阳间距离,就能计算出太阳的质量。()2合作探究议一议(1)如果知道自己的重力,你能求出地球的质量吗?如果能,还需要知道哪些物理量?提示:能。若用G表示重力,设自身质量为m,则重力加速度g,故M,所以还需知道地球半径R、引力常量G就可算出地球质量M。(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r,由此可以求出地球的质量吗?能否求出月球的质量呢?图331提示:能求出地球的质量。利用Gm2r求出的质量M为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉,所以根据月球的周期T、公转半径r,无法计算月球的质量。天体质量和密度的计算1天体质量的计算(1)“自力更生法”:若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g,根据物体的重力近似等于天体对物体的引力,得mgG,解得天体质量为M,因g、R是天体自身的参量,故称“自力更生法”。(2)“借助外援法”:借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星,计算中心天体的质量,常见的情况:GmMGm2rMGm2rM2天体密度的计算若天体的半径为R,则天体的密度。将M代入上式得:。特别地,当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r等于天体半径R,则。典例我国探月的“嫦娥”工程已启动,在不久的将来,我国宇航员就会登上月球。假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点,并沿水平方向以初速度v0抛出一个小球,测得小球经时间t落到斜坡上另一点N,斜面的倾角为,如图332所示。将月球视为密度均匀、半径为R的球体,引力常量为G,则月球的密度为()图332A.B.C. D.思路点拨利用平抛运动的规律可确定月球表面的重力加速度g,然后利用“自力更生法”求出月球的质量,从而得到月球的密度。解析根据平抛运动规律有MNsin ,MNcos v0t,两式相比得月球表面的重力加速度g,月球对物体的万有引力等于物体的重力,有mg,月球的密度,解得,C正确。答案C(1)计算天体质量和密度的公式,既可以计算地球质量,也可以计算太阳等其他星体的质量,需明确计算的是中心天体的质量。(2)要注意理解并区分公式中的R、r,R指中心天体的半径,r指行星或卫星的轨道半径,只有在近“地”轨道运行时才有rR。1.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道。观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动,发现每经过时间t通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为(弧度),如图333所示。已知引力常量为G,由此可推导出月球的质量为()图333A. B.C. D.解析:选A根据弧长及对应的圆心角,可得“嫦娥三号”的轨道半径r,根据转过的角度和时间,可得,由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力,可得Gm2r,由以上三式可得M,A正确。2假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1,已知引力常量为G。(1)则该天体的密度是多少?(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T2,则该天体的密度又是多少?解析:(1)由万有引力提供卫星的向心力有Gm2R,根据数学知识可知天体的体积为VR3故该天体的密度为。(2)卫星距天体表面距离为h时,忽略自转有Gm(Rh),M,。答案:(1)(2)天体运动的分析与计算1基本思路:一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。2常用关系(1)Gmamm2rmr。(2)忽略自转时,mgG(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力),整理可得:gR2GM,该公式通常被称为“黄金代换式”。3四个重要结论设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。(1)由Gm得v ,r越大,v越小。(2)由Gm2r得,r越大,越小。(3)由Gm2r得T2,r越大,T越大。(4)由Gma向得a向,r越大,a向越小。典例据报道,天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”,名为“55 Cancri e”。该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的,母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同,“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动,则“55 Cancri e”与地球的()A轨道半径之比约为 B轨道半径之比约为 C向心加速度之比约为 D向心加速度之比约为 思路点拨(1)“超级地球”绕母星的运动规则与地球绕太阳的运动规则相同。(2)绕行天体的向心加速度由中心天体对它的万有引力产生。解析由公式Gm2r,可得通式r,设“55 Cancri e”的轨道半径为r1,地球轨道半径为r2,则,从而判断A错,B对;再由Gma得通式aG,则 ,所以C、D皆错。答案B(1)分析该类问题的关键是抓住“万有引力提供向心力”这一主线。(2)定量计算时,除抓住以上主线外,有时要借助于“黄金代换式”才能顺利解决问题。1.研究火星是人类探索向火星移民的一个重要步骤。设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动,火星轨道在地球轨道外侧,如图334所示,与地球相比较,则下列说法中正确的是()图334A火星运行速度较大B火星运行角速度较大C火星运行周期较大D火星运行的向心加速度较大解析:选C根据万有引力提供向心力Gmm2rmrma,得v,T2 ,a,由此可知,轨道半径越大,周期越大,但速度、角速度、加速度越小,因火星的轨道半径比地球的轨道半径大,故火星的周期大,但火星的速度、角速度、加速度都较小,故C正确,A、B、D错误。2已知地球半径R6.4106 m,地面附近重力加速度g9.8 m/s2,计算在距离地面高为h2.0106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T。解析:根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,即Gm。知v。由地球表面附近的物体受到的万有引力近似等于重力,即Gmg,得GMgR2。由两式可得v 6.4106 m/s6.9103 m/s。运动周期T s7.6103 s。答案:6.9103 m/s7.6103 s宇宙双星问题1宇宙双星:相距较近仅在彼此的引力作用下围绕它们的连线上的某一固定点(圆心)做匀速圆周运动的两颗恒星。2双星特点(1)两颗恒星的向心力大小相等,都是由相互作用的万有引力提供。(2)两颗恒星的角速度、周期相同。典例宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2,二者相距L。求:(1)双星的轨道半径之比;(2)双星的线速度之比;(3)双星的运动周期。思路点拨处理双星问题的依据仍是万有引力充当向心力,但需充分利用双星模型的特点,并将其作为附加条件才能分析和求解相关问题。解析如图所示,两者轨迹圆的圆心为O,半径分别为R1和R2。由万有引力提供向心力,有Gm1R1Gm2R2(1)由两式相除,得。(2)因为v,所以。(3)将式消去“m1”,式消去“m2”后相加得(R1R2)又由几何关系知R1R2L所以由两式可得T2 。答案(1)(2)(3)2 双星模型的两个重要结论(1)双星模型中,星体运动的轨道半径和质量成反比,即r1r2m2m1,双星系统的转动中心离质量较大的星体近。(2)双星系统的转动周期与双星的距离L、双星的总质量(m1m2)有关,即T2 。1.现代观测表明,由于引力作用,恒星有“聚集”的特点,众多的恒星组成了不同层次的恒星系统,最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星,事实上,冥王星也是和另一星体构成双星,如图335所示,这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动,这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起,现测出双星间的距离始终为L,且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为32,则()图335A它们的角速度大小之比为23B它们的线速度大小之比为32C它们的质量之比为32D它们的周期之比为23解析:选B双星的角速度和周期都相同,故A、D均错;由Gm12r1,Gm22r2,解得m1m2r2r123,C错误。由vr知,v1v2r1r232,B正确。2两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的质量之和。解析:设两星质量分别为M1、M2,都绕连线上O点做周期为T的圆周运动,星球1和星球2到O点的距离分别为l1、l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得: 对M1:GM12l1,所以M2;对M2:GM22l2,所以M1;而Rl1l2,所以,两星的质量之和:MM1M2。答案:1下列说法正确的是()A海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此人们发现了海王星解析:选D由行星的发现历史可知,天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的;海王星不是通过观测发现,也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道,从而发现了海王星。由此可知,A、B、C错误,D正确。2为了研究太阳演化的进程需知太阳的质量,已知地球的半径为R,地球的质量为m,日地中心的距离为r,地球表面的重力加速度为g,地球绕太阳公转的周期为T,则太阳的质量为()A.B.C. D.解析:选A地球绕太阳运动有Gmr,对地球表面的物体有mgG,联立解得M日,A正确。3地球表面的平均重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,可估算地球的平均密度为()A. B.C. D.解析:选A忽略地球自转的影响,对处于地球表面的物体,有mgG,又地球质量MVR3。代入上式化简可得,A正确。4.如图1所示,若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动,a、b到地心O的距离分别为r1、r2,线速度大小分别为v1、v2,则()图1A.B.C.2 D.2解析:选A对人造卫星,根据万有引力提供向心力m,可得v 。 所以对于a、b两颗人造卫星有,故选项A正确。5(多选)科学家在研究地月组成的系统时,从地球向月球发射激光,测得激光往返时间为t。若还已知万有引力常量G,月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T,光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)。则由以上物理量可以求出()图2A月球到地球的距离B地球的质量C月球受地球的引力 D月球的质量解析:选AB根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离,A正确;又因知道月球绕地球旋转的周期T,根据Gm2r可求出地球的质量M,B正确;根据题中数据只能计算中心天体的质量,D不对;因不知月球的质量,无法计算月球受地球的引力,C也不对。6火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1,神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2,火星质量与地球质量之比为p,火星半径与地球半径之比为q,则T1与T2之比为()A. B. C. D.解析:选D火星探测器绕火星做圆周运动过程中,火星对探测器的万有引力提供向心力,即GmR12T1 ,同理可知飞船绕地球的周期T2 ,所以 ,D项正确。7(多选)据观测,某行星外围有一模糊不清的环,为了判断该环是行星的连续物还是卫星群,又测出了环中各层的线速度的大小和该层至行星中心的距离R,以下判断中正确的是()A若v与R成正比,则环是连续物B若v与R成反比,则环是连续物C若v2与R成反比,则环是卫星群D若v2与R成正比,则环是卫星群解析:选AC若环是行星的连续物,则其角速度与行星自转的角速度相同,故v与R成正比,A对,B错。若环是行星的卫星群,则由Gm可得v2G,即v2与R成反比,C对,D错。8假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为()A.B.C. D.解析:选B物体在地球的两极时,mg0G,物体在赤道上时,mgm2RG,以上两式联立解得地球的密度。故选项B正确,选项A、C、D错误。9(多选)通过观测冥王星的卫星,可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动,除了引力常量外,至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是()A卫星的速度和角速度B卫星的质量和轨道半径C卫星的质量和角速度D卫星的运行周期和轨道半径解析:选AD根据线速度和角速度可以求出半径r,根据万有引力提供向心力,则有m,整理可得M,故选项A正确;由于卫星的质量m可约掉,故选项B、C错误;若知道卫星的运行周期和轨道半径,则m2r,整理得M,故选项D正确。10双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为()A.T B.TC.T D.T解析:选B设m1的轨道半径为R1,m2的轨道半径为R2,两星之间的距离为L。由于它们之间的距离恒定,因此双星在空间的绕向一定相同,同时角速度和周期也都相同。由向心力公式可得:对m1:Gm1R1对m2:Gm2R2又因为R1R2L,m1m2M由式可得:T2 所以当两星总质量变为kM,两星之间的距离变为原来的n倍,圆周运动的周期为T2T,故A、C、D错误,B正确。11经过近7年时间,在太空中穿行35亿千米后,美航天局和欧航天局合作研究出的“卡西尼”号土星探测器抵达预定轨道,开始“拜访”土星及其卫星家族,这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测。若“卡西尼”号土星探测器进入环绕土星上空的圆轨道飞行,已知土星半径为R,探测器离土星表面高度为h,环绕n周的飞行时间为t。求土星的质量M和平均密度(球体体积公式V)。解析:土星对探测器的引力提供探测器运行的向心力:Gm(Rh),探测器运行的周期:T,联立以上二式解得土星的质量为M,由MV和V联立解得土星的平均密度为。答案:12假想科学家在宇宙中观测到一个星球以角速度自转,如果阻止它离心“瓦解”的力是万有引力,这个星球的密度应该有一个最小值,写出这个最小值的表达式。蟹状星云中心天体的自转周期为0.33 s,则其是否可能是一种白矮星?(白矮星的密度是1091011 kg/m3)解析:设该星球的质量为M,半径为R,取该星球表面赤道处的一小物体作为研究对象,设其质量为m。万有引力提供向心力,为确保小物体m不飘离该星球,则有Gm2R即M 所以星球的最小密度min蟹状星云中心天体的自转周期T0.33 s角速度将代入得蟹状星云中心天体的最小密度min1.31012 kg/m3由于以上密度值不在白矮星的密度范围内,所以不是白矮星。答案:min否
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