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12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课前知识管理1、两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2所以，我们把这个公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(+)()=22.几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2b2.若把小长方形旋转到小长方形的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S+SS+S（a+b）（ab），从而验证了平方差公式（a+b）（ab）a2b2.2、平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的a与b可以是数，也可以换成一个代数式.名师导学互动典例精析：知识点1：直接应用平方差公式例1、计算： 【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项，另外一项与互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式【解】=【方法归纳】将两个括号内的相同项看作，符号相反的项与看作，就可以直接运用平方差公式.对应练习：计算(y2x)(2xy).知识点2：连用平方差公式化简例2、化简：.【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到，它与第三项又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.【解】原式=【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的.对应练习：计算：知识点3：分组后运用平方差公式例3、计算: (2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).【解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、四结合分组，就可以利用乘法公式计算.【解】(2a+3)(3a+5)(2a3)(2a5)=(2a+3)(2a3)(3a+5)(3a5)=(4a2-9)(9a225)=36a4181a2+225.【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量.对应练习：计算：(x+2)(x2+4)(x2).知识点4：添项后运用平方差公式例4计算；【解题思路】本题若添上一个因式“”后，则可以连续四次运用平方差公式计算【解】原式【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算对应练习：某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：.请借鉴该同学的经验，计算：.知识点5：逆用平方差公式例5计算：【解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“”与“”分别视为平方差公式中的a、b，逆用平方差公式，则运算简便解：.【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单对应练习：计算：.知识点6：变形后运用平方差公式例6.计算.【解题思路】注意到93接近整百数100，二者相差7，若使用数字93、7巧构平方差公式便可实现简算.【解】.【方法归纳】公式可以变形为.对应练习：计算：知识点7：拆项变形后使用例7、计算(x-y+1)(x+y-5).【解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.解：(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=(x-2)-(y-3)(x-2)+(y-3)=(x-2)2-(y-3)2=x2-4x+4-y2+6y-9=x2-y2-4x+6y-5.【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组，使之符合平方差公式的结构特征.对应练习：易错警示例8、计算：(2x+3)(2y-3).错解：(2x+3)(2y-3)=4xy-9.错解分析：(2x+3)(2y-3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算正解：(2x+3)(2y-3)=4xy-6x+6y-9.例9、(2x+9)(2x-9).错解：(2x+9)(2x-9)=4x2-9.错解分析：(2x+9)(2x-9)应等于2x与9的平方差，即(2x)2-92，错解中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误正解：(2x+9)(2x-9)=(2x)2-92=4x2-81.例10、(a3-8)(a3+8).错解：(a3-8)(a3+8)=a9-64.错解分析：(a3-8)(a3+8)中(a3)2=a6，而(a3)2a9.正解：(a3-8)(a3+8)=(a3)2-82=a6-64.例11、(-2a-7)(2a-7)错解：(-2a-7)(2a-7)4a2-49.错解分析：(-2a-7)(2a-7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a-7)(2a-7)(-2a)2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即： (-2a-7)(2a-7)=(-7-2a)(-7+2a) =(-7)2-(2a)2或(-2a-7)(2a-7)=(2a+7)(2a-7) =(2a)2-72正解：(-2a-7)(2a-7) = (-7-2a)(-7+2a) =(-7)2-(2a)2=49-4a2课堂练习评测知识点1：平方差公式1、在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（如图1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 （用字母表示）2、已知，则的值是 3、下列计算中，错误的有（ ）（3a+4）（3a4）=9a24；（2a2b）（2a2+b）=4a2b2；（3x）（x+3）=x29；（x+y）（x+y）=（xy）（x+y）=x2y2A1个 B2个 C3个 D4个知识点2：平方差公式的实际应用4、一个长方形的面积是(x29)平方米，其长为(x3)米，用含有x的整式表示它的宽为_米.知识点3：平方差公式的运用5、计算：; 6、计算：(3x-2y)(9x2+4y2)(-2y-3x)7、平方差公式的常见变形 (1)位置变化:(a+b)(-b+a)=_; (2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_. (3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=_. (4)指数变化:(a2+b3)(a2-b3)=_. (5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_; (6)连用公式:(a+b)(a-b)(a2+b2)= _.课后作业练习基础训练一、填空题1、_. 2、_.3、_. 4、_.5、_. 6、_.7、_.8、_）_）.二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ）A ; B ;C ; D .10、下列各式中，运算结果是的是（ ）A ; B ;C ; D .11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是( )A.x-(2y+1)2 B.x-(2y-1)x+(2y-1) C.(x-2y)+1(x-2y)-1 D.x+(2y+1)2三、解答题12、计算.13、先化简后求值.提高训练14、解方程.15、已知代数式(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M的差是(2x+3y)(8x-9y),求多项式M.16、一个长方形菜地,长为(2a+3)cm,宽为(2a-3)cm, 那么这块菜地的面积是多少?17、一个长方体的游泳池的长为(4a2+9b2)米,宽为(2a+3b)米,高为(2a-3b)米,那么这个游泳池的容积是多少?12.3.1对应练习答案：1.解：原式=(2x)+y(2x)y=(2x)2y2=4x2y2.2.解：原式3.解：原式=(x+2)(x2)(x2+4)=(x24)(x2+4)=x416.4.答案：25.解：原式=.6.解：.7.答案：.课堂作业练习参考答案：1、答案：2、答案：43、答案：D4、答案：（）5、解:原式=.6、解:原式=(3x-2y)(-3x-2y)(9x2+4y2) =(4y2-9x2)(9x2+4y2)=16y4-81x47、(1)a2-b2 (2)b2-a2 (3)4a2-9b2 (4)a4-b6 (5)(a-c)2-4b2=a2-2ac+c2-4b2 (6)a4-b4课后作业练习参考答案：18：；0；.9、D；10、A；11、D12、；13、化简结果为，求值结果为12；14、15、解:由题意得: M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y) =(-4x)2-(3y)2-(16x2-18xy+24xy-27y2)=16x2-9y2-16x2-6xy+27y2=18y2-6xy.16、解:这块菜地的面积为: (2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a2-9(cm2)17、解:游泳池的容积是:(4a2+9b2)(2a+3b)(2a-3b) =(2a)2-(3b)2(4a2+9b2)=(4a2-9b2)(4a2+9b2)=(4a2)2-(9b2)2=16a4-81b4(米3)
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