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8.1空间几何体的表面积和体积【真题典例】挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.空间几何体的结构特征认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2016天津,11空间几何体的结构特征三视图2015天津,102014天津,102.空间几何体的表面积和体积理解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)2018天津,11空间几何体的表面积和体积正方体的性质分析解读1.理解多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念,牢记它们的几何特征;2.理解圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的形成过程,正确把握轴截面、中截面的含义及掌握将圆柱、圆锥、圆台的空间问题转化为平面问题的方法;3.理解柱、锥、台、球(无侧面积)的侧面积、表面积和体积的概念;4.结合模型,在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式;5.备考时关注以柱、锥与球的接、切问题为命题背景,突出空间几何体的线面位置关系的试题;6.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,分值约为5分,属于中档题.破考点【考点集训】考点一空间几何体的结构特征1.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案D考点二空间几何体的表面积和体积2.(2015北京,5,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+5B.4+5C.2+25D.5答案C3.(2015安徽改编,19,13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.求三棱锥P-ABC的体积.解析由AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=12ABACsin60=32.由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=13SABCPA=36.炼技法【方法集训】方法1空间几何体表面积与体积的求解方法1.(2016课标文,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.323C.8D.4答案A2.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.16B.13C.12D.1答案A3.(2015课标,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B4.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案435.(2014山东文,13,5分)一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.答案12方法2与球有关的切、接问题的求解方法6.(2015课标,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256答案C7.(2017课标,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案148.(2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案92过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组1.(2016天津,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.答案22.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案833.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案2034.(2018天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.答案112B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2017课标,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.34C.2D.4答案B2.(2014课标,7,5分)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3B.32C.1D.32答案C3.(2014大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.814B.16C.9D.274答案A4.(2014陕西,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.323B.4C.2D.43答案D5.(2018课标,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为.答案4026.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.答案77.(2018课标,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.解析(1)证明:由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.如图,作QEAC,垂足为E,则QE13DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-ABP的体积为13SABPQE=1312322sin451=1.规律总结证明空间线面位置关系的一般步骤:(1)审清题意:分析条件,挖掘题目中平行与垂直的关系;(2)明确方向:确定问题的方向,选择证明平行或垂直的方法,必要时添加辅助线;(3)给出证明:利用平行、垂直关系的判定或性质给出问题的证明;(4)反思回顾:查看关键点、易漏点,检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏,符号表达是否准确.解题关键(1)利用平行关系将ACM=90转化为BAC=90是求证第(1)问的关键;(2)利用翻折的性质将ACM=90转化为ACD=90,进而利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得出三棱锥Q-ABP的高是求解第(2)问的关键.8.(2017课标文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90.(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若PCD的面积为27,求四棱锥P-ABCD的体积.解析本题考查线面平行的判定和体积的计算.(1)证明:在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD,又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=12AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因为CM底面ABCD,所以PMCM.设BC=x,则CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PNCD,所以PN=142x.因为PCD的面积为27,所以122x142x=27,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱锥P-ABCD的体积V=132(2+4)223=43.9.(2016课标文,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD=22,求五棱锥D-ABCFE的体积.解析(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.(2分)由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(4分)(2)由EFAC得OHDO=AEAD=14.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(22)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.(8分)又由EFAC=DHDO得EF=92.五边形ABCFE的面积S=1268-12923=694.(10分)所以五棱锥D-ABCFE的体积V=1369422=2322.(12分)C组教师专用题组1.(2014湖北,8,5分)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式V275L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.227B.258C.15750D.355113答案B2.(2013课标文,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.答案923.(2013江苏,8,5分)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2=.答案1244.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解析(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13A1B12PO1=13622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0h6,O1O=4h(m).如图,连接O1B1.因为在RtPO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以2a22+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+13a2h=133a2h=263(36h-h3),0h6,从而V=263(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=23或h=-23(舍).当0h0,V是单调增函数;当23h6时,V0,V是单调减函数.故h=23时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=23m时,仓库的容积最大.评析本题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.5.(2015课标文,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.所以S梯形A1EHA=12(A1E+AH)A1A=12(4+10)8=56,S梯形B1BHE=12(HB+EB1)A1A=12(6+12)8=72,又长方体被平面分成两个等高的直棱柱,高为10,所以其体积的比值为S梯形A1EHAS梯形B1BHE=5672=7997也正确.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2019届天津新华中学期中,3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.13+B.23+C.13+2D.23+2答案A2.(2018天津红桥一模,4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.223B.2C.23D.答案C二、填空题(每小题5分,共35分)3.(2019届天津七校联考,11)一个几何体的正视图由2个全等的矩形组成,侧视图也是矩形,俯视图由两个全等的直角三角形组成,数据如图所示,则该几何体的体积为.答案124.(2019届天津南开中学开学考,11)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为cm3.答案205.(2018天津河东一模,11)某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为.答案92+146.(2018天津十二区县一模,10)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积是.答案487.(2018天津部分区县一模,13)在三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,BDCD,BD=DC=4,AB=3,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为.答案418.(2018天津河东二模,11)麻团又叫煎堆,呈球形,华北地区称麻团,是一种古老的中华传统特色油炸面食,寓意团圆.制作时以糯米粉团炸起,加上芝麻而制成,有些包入麻茸、豆沙等馅料,有些没有.一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团,它们彼此相切,同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切,其俯视图如图所示,若长方体纸盒的表面积为576cm2,则一个麻团的体积为cm3.答案369.(2019届天津南开中学统练(3),11)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2的值是.答案32三、解答题(共15分)10.(2017天津和平二模,17)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=4,D为BB1上一点,E为AC上一点,且B1D=CE=1,BE=7.(1)求证:BEAC1;(2)求证:BE平面AC1D;(3)求四棱锥A-BCC1B1的体积.解析(1)证明:在ABE中,AB=4,AE=3,BE=7,AE2+BE2=AB2,则BEAE,即BEAC,三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,CC1底面ABC,CC1BE,又CC1AC=C,BE平面ACC1A1,又AC1平面ACC1A1,BEAC1.(2)证明:在平面ACC1A1中,过E作EFC1C交AC1于F,连接DF.CE=14AC,C1F=14AC1=2,AF=32,则EF=AF2-AE2=18-9=3.BD=BB1-B1D=3,EF=BD,EFCC1,BDCC1,BDEF,且BD=EF,则四边形BDFE为平行四边形,BEDF,BE平面AC1D,DF平面AC1D,BE平面AC1D.(3)VABC-A1B1C1=12ACBEAA1=12474=87,VA-A1B1C1=1387=873,VA-BCC1B1=VABC-A1B1C1-VA-A1B1C1=87-873=1673.解题分析本题考查直线与平面平行的判定,考查了空间想象能力和思维能力,是中档题.
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