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2019年高中数学 第二章 平面向量单元同步测试(含解析)新人教A版必修4一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1有下列四个表达式:|ab|a|b|;|ab|(|a|b|);a2|a|2;|ab|a|b|.其中正确的个数为()A0 B2C3 D4解析对于仅当a与b同向时成立对于左边|ab|0,而右边可能0,不成立对于a2|a|2,a2|a|2不成立对于当ab时不成立,综上知,四个式子都是错误的答案A2下列命题中,正确的是()Aa(2,5)与b(4,10)方向相同Ba(4,10)与b(2,5)方向相反Ca(3,1)与b(2,5)方向相反Da(2,4)与b(3,1)的夹角为锐角解析在B中,a(4,10)2(2,5)2b,a与b方向相反答案B3已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a3b|()A. B.C. D4解析|a3b|2(a3b)2a29b26ab196|a|b|cos6013,|a3b|.答案C4已知向量a,b(x1,2),其中x0,若ab,则x的值为()A8 B4C2 D0解析ab,(8x)2x(x1)0,即x216,又x0,x4.答案B5在ABC中,M是BC的中点,AM1,点P在AM上且满足2,则()等于()A. B.C D解析M为BC的中点,得2,()2.又2,|.2|2.答案A6若向量a(1,1),b(2,5),c(3,x),满足条件(8ab)c30,则x()A6 B5C4 D3解析8ab8(1,1)(2,5)(6,3),c(3,x),(8ab)c(6,3)(3,x)183x.又(8ab)c30,183x30,x4.答案C7向量a(1,1),且a与a2b方向相同,则ab的取值范围是()A(1,1) B(1,)C(1,) D(,1)解析依题意可设a2ba(0),则b(1)a,ab(1)a2(1)211.答案B8设单位向量e1,e2的夹角为60,则向量3e14e2与向量e1的夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析(3e14e2)e13e4e1e2312411cos605,|3e14e2|29e16e24e1e291216122411cos6037.|3e14e2|.设3e14e2与e1的夹角为,则cos.答案D9在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E为线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若a,b,则()A.ab B.abC.ab D.ab解析如图所示,由题意知,DE:BEDF:BA1:3.ab(ab)ab.答案B10已知点B为线段AC的中点,且A点坐标为(3,1),B点坐标为,则C点坐标为()A(1,3) B.C(4,2) D(2,4)解析设C(x,y),则由,得,C(4,2)答案C11已知|a|2|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0有实根,则a与b夹角的取值范围是()A. B.C. D.解析设a与b的夹角为,|a|24ab0,ab,cos.0,.答案B12在ABC所在平面内有一点P,如果,则PAB与ABC的面积之比是()A. B.C. D.解析因为,所以20,22,所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)所以PAB与ABC的面积之比是.答案A二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分将答案填在题中横线上)13已知a(2cos,2sin),b(3,),且a与b共线,0,2),则_.解析由ab,得2cos6sin,cos0,tan,又0,2),或.答案或14假设|a|2,b(1,3),若ab,则a_.解析设a(x,y),则有x2y220.又ab,ab0,x3y0.由解得x3,y,或x3,y,a(3,),或a(3,)答案(3,)或(3,)15在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若2,那么c_.解析由题知2,即()22c|.答案16关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:若abac,则bc;若a(1,k),b(2,6),ab,则k3;非零向量a和b满足|a|b|ab|,则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析当a0时,不成立;对于,若ab,则2k6,k3,成立;对于,由于|a|b|ab|,则以|a|,|b|为邻边的平行四边形为菱形,如图BAD60,ab,由菱形的性质可知,a与ab的夹角为BAC30.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知|a|3,|b|2,a与b的夹角为60,c3a5b,dma3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解(1)令cd0,则(3a5b)(ma3b)0,即3m|a|215|b|2(5m9)ab0,解得m.故当m时,cd.(2)令cd,则3a5b(ma3b)即(3m)a(53)b0,a,b不共线,解得故当m时,c与d共线18(12分)如图所示,在ABC中,C为直角,CACB,D是CB的中点,E是AB上的点,且AE2EB,求证:ADCE.证明设此等腰直角三角形的直角边长为a,则()()a20aaaa2a2a20,ADCE.19(12分)已知在ABC中,A(2,1),B(3,2),C(3,1),AD为BC边上的高,求|与点D的坐标解设D点坐标为(x,y),则(x2,y1),(6,3),(x3,y2),D在直线BC上,即与共线,存在实数,使,即(x3,y2)(6,3)x32(y2),即x2y10.又ADBC,0,即(x2,y1)(6,3)0.6(x2)3(y1)0.由可得| ,即|,D(1,1)20(12分)在直角坐标系中,已知(4,4),(5,1),在方向上的射影数量为|,求的坐标解设点M的坐标为M(x,y)在方向上的射影数量为|,0.又(x,y),(5x,1y),x(5x)y(1y)0.又点O,M,A三点共线,.解得(52,12)(3,3)21(12分)如图,在平面斜坐标系xOy中xOy60,平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的;若xe1ye2(其中e1,e2分别为与x轴,y轴同方向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y)(1)若点P的斜坐标为(2,2),求点P到O的距离|OP|;(2)求以O为圆心,以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程解(1)因为点P的斜坐标为(2,2),故2e12e2,|2(2e12e2)288e1e288cos604,|2,即|OP|2.(2)设圆上动点M的坐标为(x,y),则xe1ye2,又|1.故(xe1ye2)21.x2y22xye1e21.即x2y2xy1.故所求方程为x2y2xy10.22(12分)如图,在四边形ABCD中,(R),|2,|2,且BCD是以BC为斜边的直角三角形(1)求的值;(2)求的值解(1)因为,所以BCAD,且|.因为|2,所以|2.又|2,所以|2.作AHBD交BD于H,则H为BD的中点在RtAHB中,有cosABH,于是ABH30,所以ADBDBC30.而BDC90,所以BDBCcos30,即22,解得2.(2)由(1)知,ABC60,|4,所以与的夹角为120,故|cos1204.
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