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2019年高中数学 知能基础测试 新人教B版选修2-2一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1曲线yx22x在点 处的切线的倾斜角为()A1B45C45D135答案D解析yx2,所以斜率k121,因此倾斜角为135.故选D.2下列求导运算正确的是()A.1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cosx)2xsinx答案B解析1,所以A不正确;(3x)3xln3,所以C不正确;(x2cosx)2xcosxx2(sinx),所以D不正确;(log2x),所以B对故选B.3如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0),则导函数yS(t)的图像大致为()答案A解析由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增减增减,其中恰露出一个角时变化不连续,故选A.4已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值,则a的取值范围为()A1a2B3a6Ca2Da6答案D解析f(x)3x22axa6.因为f(x)既有极大值又有极小值,所以0,即4a243(a6)0,即a23a180,解得a6或a3.故选D.5(xx山东理,6)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2B4 C2D4答案D解析如图所示由解得或第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得S(4xx3)dx(2x2)|844.6(xx黄山模拟)已知f(x)xlnx,若f(x0)2,则x0()Ae2BeC.Dln2答案B解析f(x)的定义域为(0,),f(x)lnx1,由f(x0)2,得lnx012,解得x0e.7(xx北师大附中高二期中)函数y的导数为()AyByCyDy答案D解析y.8函数f(x)x32x3的图象在x1处的切线与圆x2y28的位置关系是()A相切B相交且过圆心C相交但不过圆心D相离答案C解析切线方程为y2x1,即xy10.圆心到直线的距离为xa时,f(x)0,故在a,b上,f(x)为增函数且又由图知f(x)在区间a,b上先增大后减小,即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小,故选D.10曲线yex在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2B4e2C2e2De2答案D解析ye,在点(4,e2)处的切线方程为ye2xe2,令x0得ye2,令y0得x2,围成三角形的面积为e2.故选D.11(xx天门市调研)已知函数f(x)的导函数f (x)a(xb)2c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是()答案D解析由导函数图象可知,当x0时,函数f(x)递减,排除A,B;当0x0,函数f(x)递增因此,当x0时,f(x)取得极小值,故选D.12(xx泰安一中高二段测)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,若ABC为锐角三角形,则一定成立的是()Af(sinA)f(cosB)Bf(sinA)f(sinB)Df(cosA)0时,f (x)0,即f(x)单调递增,又ABC为锐角三角形,则AB,即AB0,故sinAsin(B)0,即sinAcosB0,故f(sinA)f(cosB),选A.二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分将正确答案填在题中横线上)13经过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程为_答案xy20解析设切点为,则,解得x01,所以切点为(1,1),斜率为1,直线方程为xy20.14若函数f(x)在(0,)上为增函数,则实数a的取值范围是_答案a0解析f(x)a,由题意得,a0对x(0,)恒成立,即a,x(0,)恒成立a0.15(xx湖北重点中学高二期中联考)已知函数f(x)ax3ax22ax2a1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是_答案(,)解析f (x)ax2ax2aa(x1)(x2),由f(x)的图象经过四个象限知,若a0,则此时无解;若a0,则a,综上知,a.16(xx泉州实验中学期中)已知函数f(x)x33x,若过点A(1,m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线,则实数m的取值范围为_答案(3,2)解析f (x)3x23,设切点为P(x0,y0),则切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0),切线经过点A(1,m),m(x3x0)(3x3)(1x0),m2x3x3,m6x6x0,当0x01时,此函数单调递增,当x01时,此函数单调递减,当x00时,m3,当x01时,m2,当3m0)(1)当a1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1上 的最大值为,求a的值解析函数f(x)的定义域为(0,2),f (x)a,(1)当a1时,f (x),当x(0,)时,f (x)0,当x(,2)时,f (x)0,即f(x)在(0,1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a,因此a.18(本题满分12分)(xx韶关市曲江一中月考)已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数,当x1时,f(x)取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间和极大值;(3)证明:对任意x1、x2(1,1),不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立解析(1)f(x)是R上的奇函数,f(x)f(x),即ax3cxdax3cxd,dd,d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx,f (x)3ax2c,又当x1时,f(x)取得极值2,即解得f(x)x33x.(2)f (x)3x233(x1)(x1),令f (x)0,得x1,当1x1时,f (x)0,函数f(x)单调递减;当x1时,f (x)0,函数f(x)单调递增;函数f(x)的递增区间是(,1)和(1,);递减区间为(1,1)因此,f(x)在x1处取得极大值,且极大值为f(1)2.(3)由(2)知,函数f(x)在区间1,1上单调递减,且f(x)在区间1,1上的最大值为Mf(1)2.最小值为mf(1)2.对任意x1、x2(1,1),|f(x1)f(x2)|Mm4成立即对任意x1、x2(1,1),不等式|f(x1)f(x2)|0,即f(x)在(1,1)上是增函数故t的取值范围是t5.21(本题满分12分)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8,其中aR.(1)若f(x)在x3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围解析(1)f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)因f(x)在x3处取得极值,所以f(3)6(3a)(31)0,解得a3.经检验知当a3时,x3为f(x)的极值点(2)令f(x)6(xa)(x1)0得x1a,x21.当a0,所以f(x)在(,a)和(1,)上为增函数当0a0,所以f(x)在(,1)和(a,)上为增函数,从而f(x)在(,0)上为增函数综上可知,当a0时,f(x)在(,0)上为增函数22(本题满分14分)设函数f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0,)内的最小值;(2)设曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为yx,求a,b的值解析(1)f (x)aex,当f (x)0,即xlna时,f(x)在(lna,)上递增;当f (x)0,即xlna时,f(x)在(,lna)上递减当0a0,f(x)在(0,lna)上递减,在(lna,)上递增,从而f(x)在0,)上的最小值为f(lna)2b;当a1时,lna0,f(x)在0,)上递增,从而f(x)在0,)上的最小值为f(0)ab.(2)依题意f (2)ae2,解得ae22或ae2(舍去)所以a,代入原函数可得2b3,即b.故a,b.
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