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信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 陕西师范大学数学与信息科学学院 王光生博士wgs6611 Page2 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 Page3 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 案例分析 案例2 函数的奇偶性 案例1 平面的镶嵌 Page4 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学科特点 一 数学教育的基本问题什么是数学 什么是数学学习 什么又是数学教学 什么是数学教育的根本目标 数学教学的关键是什么 数学教学最困难的是什么 二 数学学科特点请诸君欣赏一首诗 数与形 本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘 几何代数统一体 永远联系 切莫分离 Page5 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学科特点 二 数学学科的特点1 数学的特点数学在培养人的思维能力方面发挥着不可替代的作用 对学生的思维基质 特别是理性思维的发展具有独特的作用 我国科学家钱学森说过 数学既不是自然科学 也不是社会科学 而是一门抽象的思维科学 数学不仅仅是计算 测量 应用公式 数学的实质是一种思维方式 是演绎推理与合情推理相结合的一种思维方式 也是一个充满变化和新的发现及发明的领域 Page6 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学科特点 二 数学学科的特点1 数学的特点 波利亚指出 数学有两个侧面 欧氏方法所表现的数学是一门系统的演绎科学 创造中的数学却是实验的归纳科学 他明确提出有两种推理 我们借助论证推理来肯定我们的数学知识 而借助合情推理来为我们的猜想提供依据 合情推理主要包括归纳推理与类比推理 Page7 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学科特点 数学是什么 数学是关于客观世界模式和秩序的科学 数 形 关系 可能性 数据处理等等是人类对客观进行数学把握的最基本的反应 数学模式是对客观对象的结构特征和量化属性的形象深刻而又简洁的描述 是对事物的量化本质的认识 无论是数学中的概念和命题 或是问题和方法 事实上都应该看成是一种具有普遍意义的模式 从而 从总体上说 数学就应被说成是 模式的科学 数学学习是发现模式 建立模式 应用模式的过程 重要的不是获得知识 而是发展思维能力 教育无非是把一切已学过的东西都忘掉的时候所剩下的东西 这种剩下的东西就是数学素质 其核心是数学思维能力 探索是数学的生命线 Page8 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学科特点 2 数学学科的特点 Page9 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 课标理念 一 数学课程标准解读1 课程标准与教学大纲的区别 总之 数学课程标准比数学教学大纲有较大的灵活性 思想性和可操作性 为教材编写 教师教学和评价提供了更大的自由和创造空间 Page10 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 课标理念 一 数学课程标准解读 2 数学课程标准是数学新课程的 芯片 数学课程标准基于国际数学教育发展的趋势和国内数学教育改革的优秀成果 提出了涉及数学课程价值 数学学习目标 数学学习过程 教师的教学以及评价等方面的许多新理念 总的来说可以用刘兼的话概括为 一个中心 两个基本点 一个中心是为了每个学生的发展 两个基本点是基于学生的经验 基于改变学生的学习方式 坚持 一个中心 两个基本点 的数学课程标准中规定的基本素质要求是教材编写 教学 评价的灵魂 也是整个数学基础教育课程的灵魂 Page11 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 课标理念 3 基本理念 是课程标准的基石 框架和灵魂 对数学课程的看法 人人学有价值的数学 人人都能获得必需的数学 不同的人在数学上得到不同的发展 对数学的看法 作为教育任务的数学 有两个特性 首先 它是人类数学活动的结果 其次 它也是数学活动的过程 即 作为教育任务的数学 不只表现为 现成的数学 作为结果 它是静态的 固定的 清晰的和没有矛盾的 学习者的目的是了解它的意思 并能够模仿与复制它 它更应当表现为 做出来的数学 作为活动 它是动态的 可创造的 结论或操作程序未知的 学习者的目的是理解其意义 寻求在合适水平上的合理解答 数学方面的漏洞可以随着学习的深入逐渐弥补 Page12 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 课标理念 3 基本理念 是课程标准的基石 框架和灵魂 对数学学习的看法 学生的数学学习不能单纯地依赖被动接受 模仿与记忆它应当是一个生动活泼和富有个性的过程 学生应当有充分的从事数学活动的时间和空间 并在动手实践 自主探索与合作交流的氛围中 理解和掌握基本的数学知识 技能和方法 认识数学的价值 解决实际问题 对数学教学的看法 数学教学应当以学生的发展为本 学生是数学学习的主人 数学教学应当建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上 教师应激发学生的学习积极性 为学生创造尽可能多的思考 动手和交流的机会 Page13 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学理念 1 数学教学的实质是数学思维活动的教学 知识源于思维 思维源于探究 探究源于问题 问题源于情境 问题是科学研究的出发点 是开启任何一门科学的钥匙 没有问题就不会有解释问题和解决问题的思想 方法和知识 所以说 问题是思想方法 知识积累和发展的逻辑力量 是生长新思想 新方法 新知识的种子 学生学习同样必须重视问题的作用 现代教学论研究指出 从本质上讲 感知不是学习产生的根本原因 尽管学生学习是需要感知的 产生学习的根本原因是问题 没有问题也就难以诱发和激起求知欲 没有问题 感觉不到问题的存在 学生也就不会去深入思考 那么学习也就只能是表层和形式的 Page14 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学理念 2 数学课程五边形 Page15 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学理念 2 数学课程五边形 在五边形的中间是数学问题解决 意味着问题解决是数学教育的中心 换句话说就是 问题解决是数学教育的最终目的 这样在数学教育中对学生的能力培养上自然就是要培养学生的问题解决能力 但是 问题解决能力的培养要依赖于其他的因素 而其他的因素就体现在五边形的五条边上 概念 技能 过程 态度和元认知 如果把问题解决能力看成是函数的话 那么这五个因素就是自变量 也即是数学问题解决 f 概念 技能 过程 态度 元认知 概念是最下面的一个因素 它是其他因素的基础 没有它 其他的因素就无从谈起 技能和过程是处于中间的两个因素 它们是在概念的基础上形成的 它们和概念一起成为问题解决中的最直接的三个因素 最上端的两个因素态度和元认知 涉及到了问题解决中的情感和心理 是更高层次的因素 它们的介入使得问题解决具有更高的效率和质量 Page16 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学理念 3 问题解决的实质是数学化 荷兰著名数学家 数学教育家弗赖登塔尔认为 人们运用数学的方法观察现实世界 分析研究各种具体现象 并加以整理组织 依法限期规律 这个过程就是数学化 简单地说 数学地组织现实世界的过程就是数学化 弗赖登塔尔所强调的数学化的对象可分为两类 一类是现实客观事物 另一类是数学本身 以此为依据数学化思想被分解为两大类 横向数学化和纵向数学化 横向数学化 对客观世界进行数学化 结果是数学概念 运算法则 规律 定理和为解决具体问题而构造的数学模型等 纵向数学化 对数学本身进行数学化 既可以是某些数学知识的深化 亦可以是对已有的数学知识进行分类 整理 综合 构造 以形成不同层次的公理体系和形式体系 使数学知识体系更系统 更完美 Page17 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学理念 3 问题解决的实质是数学化 横向数学化让学生从生活世界走进符号世界 利用数学作为工具处理和解决以现实为背景的问题 将非数学事物数学化 根据客观现实形成基本的数学概念 法则 定理 这正好是数学产生的路径 纵向数学化是在水平数学化之后进行的数学化 是从符号的世界到数学的世界 纵向数学化是在数学的范畴之内对已经符号化了的问题做进一步抽象化处理的数学化 是数学内部的活动 让符号语言得以在数学范畴中塑造 被塑造 以及被操作等过程 即对数学本身的数学化 以已有的数学知识为基础进行综合 演绎 整理 从而构造出整个数学大厦 这正好是数学不断发展 壮大的过程 Page18 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学理念 3 问题解决的实质是数学化 综上所述 数学化 不仅是数学知识的应用 也可以是数学知识的 再创造 Page19 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学理念 3 问题解决的实质是数学化 知识的意义存在于对知识的用法之中 问题解决教学就是让学生在问题解决的过程中来学习和理解知识 寓知识的学习于问题解决过程中 知识是在问题解决过程的思考 协作和对话中不断体验 不断建构起来的 Page20 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学理念 3 问题解决的实质是数学化 在这场改革中 数学教育大众化成为课程改革的基本理念 课程不再局限 文本课程 而重视课程的生成性 选择性 教材不再是被神化的 经典 而成为课程 范例 教学不再是传统的 客观真理 的呈现 而是师生多维互动 对话交流的动态生命体验过程 除了知识和技能外 数学思考 问题解决 情感态度和价值观成为数学课程目标的重要内容 问题解决 已作为显性课程被引入教学设计领域 以问题为基础来展开学习和教学过程已成为了建构主义的一条基本的教学改革思路 如何从数学学科特点出发 基于 问题解决 进行教学设计 将 问题解决 的思想引入数学课堂 充分发挥问题解决教学的功能 是数学新课程实施中亟待研究的问题 Page21 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学设计 信息技术与数学课程深层次整合就是要将技术与数学教育本身内在的特质相结合 为学生的自主学习设计具有思维层次的问题和提供问题解决活动的理想的工具与环境 从而达到彻底改变学生获取知识的方式 使数学学习的过程不仅仅是获得知识的过程 更是培养学生数学素养 数学思维方式和问题解决能力的过程 信息技术要做的事情是人不愿意做的事情 人不能做的事情 人难以完成的事情 人利用技术之后可以做得更好的事情 信息技术与数学课程整合 其主体是数学课程 而非信息技术 切勿为使用技术而使用技术 甚至不惜牺牲课程目标的实现为代价 应以课程目标为最基本的出发点 以改善学生数学学习为目的 选用合适的技术 不要在使用传统教学手段能够取得良好效果的时候 生硬地使用信息技术 评价整合的优劣应该主要审视技术的应用是否促进了学生的发展 而不是技术的有无 多少 Page22 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学设计 数学学习应该是一个探索和再创造的过程 利用计算机开展数学实验 通过组织 探索 猜想 验证 提升 的认知环境教学 更利于把研究型学习贯彻到日常的课堂教学中 而且计算机可以使学生从繁杂的计算 绘图中解脱出来 更加专注于数学方法的体验 从而易于把数学学习提升到一般科学方法的高度 因此 学生不只可以积极 触摸 数学对象的本质 建构数学知识的意义 还能体验数学家的思考方法和精神 体会数学知识的动态性 更有利于那些在教学目标分类中表现为较高认知水平层次的能力 如分析 综合 评价等 的发展 推动学生的数学认识活动由复现性不断向准研究性以至研究性发展 由此 计算机作为一种技术 一种工具 它对数学课堂的深层也是最重要的支持作用莫过于作为数学思想实验的工具了 Page23 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学设计 1 教学设计教学设计是指运用系统方法 将学习理论与教学理论的原理转换成对教学资料和教学活动的具体计划的系统化过程 史密斯 雷根 1993 教学设计是运用系统方法 将学习理论与教学理论的原理转换成对教学目标 或教学目的 教学条件 教学方法 教学评价 等教学环节进行具体计划的系统化过程 何克抗 2001 Page24 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学设计 Page25 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学设计 2 信息化教学设计的核心 教学目标分析以问题为核心驱动学习教学活动过程教学资源与学习环境设计教学活动过程的评估 Page26 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学设计 3 信息化教学设计的成果 教学设计单元包 教案 侧重教授知识的梳理对教材的重新组织 Page27 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 教学设计 4 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计概念图 Page28 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 1 教学目标分析 2 教学方式设计数学知识类型任何知识都有双重意义 一是信息意义 即揭示了客体对象一定的性质 属性或规律 知识的这种信息意义 是以显性的形式存在 亦即以符号为载体的知识结论的形式而存在着 二是智能意义 即知识在给出信息意义的同时 以隐性的形式蕴含了形成该知识的人类智力活动 即从符号 包括文字 层面上不能直接认识到智能意义 而需要教师挖掘或引导学生挖掘隐含在该知识中的智能意义 根据知识在大脑中储存的方式和知识获取的复杂程度这两个维度 可以将知识分为 Page29 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 2 教学方式设计数学知识类型 根据知识类型选择教学方式和进行教学设计 联结类知识 宜采用有意义接受学习的方式学习运算类知识 适合以探究学习的方式进行 Page30 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 3 数学问题设计策略 1 五何 问题设计策略由何 问题是从哪里来的 针对 由何 的设计往往产生的并不是真正的问题 而是任务的布置或情境的导入 教师可以为学生模拟一个情境 也可以还原到问题产生的初始情境 是何 即What 学生要回答这类问题 需要完成事实性知识的回忆与再现 或者通过说明 解说 转述 推断来阐明某种意义 为何 即Why 学生要回答这类问题 需要弄清事物之间 以及事物各部分之间的相互关系及其构成方式 以便对事件 行为和观点等进行恰当准确的解释和推理 Page31 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 3 数学问题设计策略 1 五何 问题设计策略如何 即How 学生要回答这类问题 必须具备将知识应用于具体情境的能力 或者了解有利于应用能力培养的原理 概念和理论 若何 即If then 要求学生推断或想象如果事物或情境的某种属性发生变化 结果会怎样 2 what if not 问题设计策略 如果不是这样的话 那又可能是什么 因此 这一方法就被称为 否定假设法 3 类比问题设计策略类比是利用对象与对象之间的某些相同或相似的性质进行推理的一种思维形式 正是由于这种相似性 使得类比成为发现新问题的一个重要源泉 Page32 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 3 数学问题设计策略 4 特殊化与一般化问题设计策略波利亚说 特殊化与一般化 不仅是问题解决的重要方法 而且也是提出新问题的来源 特殊化有助于发现一般化规律 而一般化也总是寓于特殊化之中 它们是相互依赖 相互补充的 Page33 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 4 数学问题解决教学策略设计 1 数学思维特征大家知道数学不仅仅是一门演绎科学 数学思维中不仅仅包含逻辑思维 虽然数学命题的正确性必须经过严格的演绎论证之后才能最终确定 然而 给数学科学的发现和发展注入新的创造性活力的思维方式并不主要是演绎 对新命题的大胆猜想 对新思路的可能性的探索与提出 乃至对复杂的演绎本身 论证路线的拟定等都不是演绎所能实现的 而是需要借助于类比 归纳 合情推理 猜想 直觉 灵感等多种多样的思维方式 这些多种多样的思维方式构成了数学方法论研究的主要内容 数学思维的二重性表现为 进行合情推理的表象思维 直觉思维和形象思维 进行演绎推理的逻辑思维 Page34 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 4 数学问题解决教学策略设计 2 数学问题解决教学策略设计合情推理与演绎推理相结合的教学策略逻辑思维是在 抓到真理 后进行完善和 补充证明 的思维 而合情推理则是 发现真理 的表象思维 二者的有机结合就是要在信息技术环境下的问题解决教学中 既要教会学生证明 更要教会学生猜想 信息技术为学生有效利用合情推理提出猜想 验证猜想提供了理想的工具与环境 合情推理包括如下多种形式 观察 实验 类比 归纳 Page35 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 4 数学问题解决教学策略设计 2 数学问题解决教学策略设计数形结合的教学策略数形结合是根据数量与图形关系 来解决问题的一种数学思想方法 几何图形可以用数量关系来公式化 反之 数量关系可以用几何图形来表现 数形结合使得两个领域重点概念和关系得到更明晰的阐述 几何概念变得更加抽象而易于处理 数量关系则变得更加形象而易于直观理解 在数学课程中 许多知识 图形本身就隐含着某种关系 几何意义和运动变化的因素 而传统教学工具在技术上无法创设一种 形 的支持 直观地帮助学生把知识 图形本身代表的一类事物想清楚 这是阻碍运用 数形结合 思想进行自主探究的原因之一 Page36 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 4 数学问题解决教学策略设计 2 数学问题解决教学策略设计数形结合的教学策略而信息技术其独特的技术优势弥补了这种缺陷 体现出了多方面的优势 如利用信息技术可以变 静态 为 动态 即动态地呈现图形的产生与变化过程 变 无形 为 有形 即把数学知识隐含的某种无形的关系和几何意义转译成有形的图形 变 特定 为 随机 即让特定的函数图象随其参数的变化而进行随机的变化 以展示这类函数的图象及其数学内涵等 Page37 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 4 数学问题解决教学策略设计 2 数学问题解决教学策略设计一般化与特殊化相结合的教学策略一般化在数学学习中有以下作用 可以通过一般化而发现数学的一般性原理 性质 法则 规律等 一般化思维方法有助于数学问题解决途径的获得 波利亚指出 雄心大的计划 成功的希望也较大 更普遍的问题可能更易于求解 在数学问题解决过程中 我们思考一个问题 有时可以跳出它的范围去思考比它大的范围的更一般性的问题 一般性的问题有时比特殊性问题还易于解决 因此 只要解决一般性的问题 特殊性的问题就迎刃而解了 Page38 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 4 数学问题解决教学策略设计 2 数学问题解决教学策略设计一般化与特殊化相结合的教学策略特殊化在解题中的作用 第一 只有通过特殊化我们才能很好地了解所面临的问题 第二 只有通过特殊化我们才能认识导致一般化的模式 第三 对于所得出的一般结论我们又必须借助进一步的特殊化去进行检验 就特殊化的这三种功能而言 梅森给出了以下的基本策略 由随意的特殊化去了解问题 由系统的特殊化为一般化提供基础 由巧妙的特殊化去对一般化结论进行检验 Page39 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 关键环节 4 数学问题解决教学策略设计 2 数学问题解决教学策略设计一般化与特殊化相结合的教学策略就一般化而言 是指我们应当努力去引出一般的结论 揭示其内在的依据 并作出可能的推广 从而 一般化就被认为是围绕以下三个问题展开的 什么看上去像是真的 猜测 为什么它是真的 检验和证明 它在哪个范围内看上去也是真的 推广 Page40 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学习环境 一 技术学习环境设计 一 几何画板在几何教学中的应用1 几何画板的功能 作图方便 精确 直观 连续 节省时间 可以任意画几何图形 注重数学表达的准确性 在变动中保持图形设定的几何关系 2 几何学习的特点 初中几何以认识空间与图形为主旋律 以图形的认识 图形与变换 图形与位置 图形与证明四条线索来展开 把过去 演绎证明 这一条主线变成了四条主线 并将几何学习分为实验几何和论证几何两个阶段 几何实验能引发几何论证的欲望和思路 几何推理则验证了实验中的猜测 从而引发更高层次的实验 Page41 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学习环境 一 技术学习环境设计 一 几何画板在几何教学中的应用3 几何画板在几何教学中的应用 1 与传统教具相比 计算机更利于师生作图 2 利用 几何画板 进行几何实验与研究 3 利用几何画板解决定值问题 4 利用几何画板进行轨迹的探求 Page42 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学习环境 二 MicrosoftMath在函数学习中的应用1 MicrosoftMath的功能 Page43 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学习环境 二 MicrosoftMath在函数学习中的应用2 函数学习的特点函数一直是数学教学的核心 对整个数学课程的设计起统领作用 但函数涉及 变量 而 变量 本质上是辩证法在数学中的运用 需要学习者整体地 动态地 具体地认识具体对象 同时还要把动态过程转化为静态对象 能够进行静止与运动 离散与连续的相互转化 只有达到辩证思维水平才能做到 此外 函数与众多数学知识相联系 这些特点是造成中学生函数学习困难的根源 Page44 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学习环境 二 MicrosoftMath在函数学习中的应用3 MicrosoftMath支持函数学习的优势支持函数的 多重表示与表示的相互转化 文字 列表 图象 解析式 为学生进行 数学实验 提供了理想的工具与环境有利于从函数观点认识方程 不等式与函数之间的内在联系无需花时间做课件 Page45 信息技术环境下基于问题解决的数学教学设计 学习环境 二 人际互动环境设计人际交互环境是促进学习共同体成员之间的数学交流 提高学习者的社会化程度 实现 通过交流学习数学 学会数学地交流 教育目的的重要外部支持环境 人际交互环境设计的基本原则是充分利用学习者之间对同一内容所具有的多元智力资源 通过人际互动 促进数学理解 并提出了以下三条具有层次性的人际交互环境设计策略 1 激发学生自我交流 实现理解个性化2 激发学生互动交流 实现理解多样化3 引导学生比较反思 实现理解完整化 Page46