资源描述
(四)函数与导数(2)1(2018江西省重点中学协作体联考)已知f(x)ex,g(x)x2ax2xsin x1.(1)证明:1xex(x0,1);(2)若x0,1)时,f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围(1)证明设h(x)ex1x,则h(x)ex1,故h(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增从而h(x)h(0)0,即ex1x.而当x0,1)时,ex1x,即ex.(2)解设F(x)f(x)g(x)ex(x2ax2xsin x1),则F(0)0,F(x)ex(2xa2xcos x2sin x)要求F(x)0在0,1)上恒成立,必须有F(0)0.即a1.以下证明:当a1时,f(x)g(x)只要证1xx2x2xsin x1,只要证2sin xx在0,1)上恒成立令(x)2sin xx,则(x)2cos x10对x0,1)恒成立,又(0)0,所以2sin xx,从而不等式得证2(2018宿州质检)设函数f(x)xaxln x(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)的极大值点为x1,证明:f(x)exx2.(1)解f(x)的定义域为(0,),f(x)1aln xa,当a0时,f(x)x,则函数f(x)在区间(0,)上单调递增;当a0时,由f(x)0得x,由f(x)0得0x.所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增;当a0得0x,由f(x),所以函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减综上所述,当a0时,函数f(x)在区间(0,)上单调递增;当a0时,函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增;当a0时,函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减(2)证明由(1)知a0),则F(x)1 .令g(x)xex,得函数g(x)在区间(0,)上单调递增而g(1)10,g(0)10,所以在区间(0,)上存在唯一的实数x0,使得g(x0)x00,即x0,且x(0,x0)时,g(x)0.故F(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增F(x)minF(x0)ln x0 x01.又x0,F(x)minln x0x01 x01x010.F(x)F(x0)0成立,即f(x)exx2成立3(2018皖江八校联考)已知函数f(x).(1)若a0,函数f(x)的极大值为,求实数a的值;(2)若对任意的a0,f(x)在x0,)上恒成立,求实数b的取值范围解(1)由题意,f(x)(2ax1)ex(ax2xa)exexax2(12a)xa1 ex(x1)(ax1a)当a0时,f(x)ex(x1),令f(x)0,得x1;令f(x)1,所以f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减所以f(x)的极大值为f(1),不合题意当a0时,10,得1x1;令f(x)0,得x1,所以f(x)在上单调递增,在,(1,)上单调递减所以f(x)的极大值为f(1),得a2.综上所述a2.(2)令g(a),a(,0,当x0,)时,0,则g(a)对a(,0恒成立等价于g(a)g(0),即bln(x1)对x0,)恒成立当b0时,显然bln(x1)在0,)上不恒成立当b0时,x(0,),bln(x1)0,此时bln(x1),不合题意当b0时,令h(x)bln(x1),x0,),则h(x)(exxex),其中(x1)ex0,x0,),令p(x)bexx21,x0,),则p(x)在区间0,)上单调递增,b1时,p(x)p(0)b10,所以对x0,),h(x)0,从而h(x)在0,)上单调递增,所以对任意x0,),h(x)h(0)0,即不等式bln(x1)xex在0,)上恒成立0b1时,由p(0)b10及p(x)在区间0,)上单调递增,所以存在唯一的x0(0,1),使得p(x0)0,且x(0,x0)时,p(x)0.从而x(0,x0)时,h(x)0,所以h(x)在区间(0,x0)上单调递减,则x(0,x0)时,h(x)h(0)0,即bln(x1)0.(1)解f(x)ln xax.令t,x(t0)令h(t)ln tat,则函数yh(t)与yf(x)的零点个数情况一致h(t)a.()当a0时,h(t)0,h(t)在(0,)上单调递增又h(1)a0,aaeaaa0时,h(t)在上单调递增,在上单调递减h(t)maxhln1.当ln时,h1即0a0,又e1,h(1)a0.又(1e)0,(a)在上单调递增,(a)2e0,此时有两个零点综上,当a0或a时,有1个零点;当0a时,无零点(2)要证g(x)f(x)ax20,只需证2(2x)e.令m(0,1),只需证22.令t(m),t(m)0,t(m)在(0,1)上单调递增,t(m)t(1)0,20.5(2018洛阳模拟)已知函数f(x)(x1)exx2,其中tR.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当t3时,证明:不等式f(x1x2)f(x1x2)2x2恒成立(其中x1R,x20)(1)解由于f(x)xextxx(ext)()当t0时,ext0,当x0时,f(x)0,f(x)单调递增,当x0时,f(x)0时,由f(x)0得x0或xln t.当0t1时,ln t0时,f(x)0,f(x)单调递增,当ln tx0时,f(x)0,f(x)单调递减,当x0,f(x)单调递增;当t1时,f(x)0,f(x)单调递增;当t1时,ln t0.当xln t时,f(x)0,f(x)单调递增,当0xln t时,f(x)0,f(x)单调递减,当x0,f(x)单调递增综上,当t0时,f(x)在(,0)上是减函数,在(0,)上是增函数;当0t1时,f(x)在(,0),(ln t,)上是增函数,在(0,ln t)上是减函数(2)证明依题意f(x1x2)f(x1x2)(x1x2)(x1x2)f(x1x2)(x1x2)f(x1x2)(x1x2)恒成立设g(x)f(x)x,则上式等价于g(x1x2)g(x1x2),要证明g(x1x2)g(x1x2)对任意x1R,x2(0,)恒成立,即证明g(x)(x1)exx2x在R上单调递增,又g(x)xex3x1,只需证明xex3x10即可令h(x)exx1,则h(x)ex1,当x0时,h(x)0时,h(x)0,h(x)minh(0)0,即xR,exx1,那么,当x0时,xexx2x,xex3x1 x22x1(x1)20;当x0时,ex0,xex3x10恒成立从而原不等式成立6已知函数f(x)ax2cos x(aR),记f(x)的导函数为g(x)(1)证明:当a时,g(x)在R上为单调函数;(2)若f(x)在x0处取得极小值,求a的取值范围;(3)设函数h(x)的定义域为D,区间(m,)D.若h(x)在(m,)上是单调函数,则称h(x)在D上广义单调试证明函数yf(x)xln x在(0,)上广义单调(1)证明当a时,f(x)x2cos x,所以f(x)xsin x,即g(x)xsin x,所以g(x)1cos x0,所以g(x)在R上单调递增(2)解因为g(x)f(x)2axsin x,所以g(x)2acos x.当a时,g(x)1cos x0,所以函数f(x)在R上单调递增若x0,则f(x)f(0)0;若x0,则f(x)0,则f(x)f(0)0;若xf(0)0,所以f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,0),所以f(x)在x0处取得极大值,不符合题意当a2a,即g(x)0,所以函数f(x)在(0,x0)上单调递减,所以f(x)0)若a0,注意到ln xx,则ln xx,即ln x2ax222a.当x2时,h(x)0,所以当m2时,函数h(x)在(m,)上单调递增若a0,当x1时,h(x)2axsin x1ln xsin x1ln x0,所以当m1时,函数h(x)在(m,)上单调递减综上所述,函数yf(x)xln x在区间(0,)上广义单调
展开阅读全文