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专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列an满足：对一切正整数n，都有an1an(或an1an)，则称数列an为递增数列(或递减数列)(2)判断单调性的方法转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性利用定义判断：作差比较法，即作差比较an1与an的大小；作商比较法，即作商比较an1与an的大小，从而判断出数列an的单调性例1已知函数f(x)(x1)，构造数列anf(n)(nN)试判断数列的单调性解f(x)2.方法一an2(nN)，an12，an1an0.an1an.数列an是递减数列方法二设x1x21，则f(x1)f(x2)，x1x21，x110，x210，x2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上为减函数，anf(n)为递减数列反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1x2，而数列只需研究相邻两项an1，an，证明难度是不一样的另需注意，函数f(x)在1，)上单调，则数列anf(n)一定单调，反之不成立跟踪训练1数列an的通项公式为an32n-223n-1，nN.求证：an为递增数列证明an1an32n-123n(32n-223n-1)3(2n-22n-1)2(3n3n-1)32n-243n-12n-2，n1，nN，n-21-2，12n-283，12n-230，又2n-20，an1an0，即an1an，nN.an是递增数列二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值(2)利用(n2)求数列中的最大项an；利用(n2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定例2在数列an中，an，则该数列前100项中的最大项与最小项的项数分别是_答案45,44解析an1，设f(x)1，则f(x)在区间(，)与(，)上都是减函数因为4445，故数列an在00，n6时，an3，nN时，an1an0.综上，可知an在n1,2,3时，单调递增；在n4,5,6,7，时，单调递减所以存在最大项又a333+1a444+1，所以第4项为最大项反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦跟踪训练4已知数列bn的通项公式为bn，nN，求bn的最大值解bn1bn，且nN，当n1,2,3,4,5时，bn1bn0，即b1b2b3b4b5.当n6,7,8，时，bn1bn0，即b6b7b8，又b5b6.bn的最大值为b6.三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列an递增an1an恒成立；数列an递减an1an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决例5已知数列an中，ann2n，nN.(1)若an是递增数列，求的取值范围(2)若an的第7项是最小项，求的取值范围解(1)由an是递增数列anan1n2n(2n1)，nN3.的取值范围是(3，)(2)依题意有即解得1513，即的取值范围是15，13反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足不一定a7最小跟踪训练5数列an中，an2n1k2n1，nN，若an是递减数列，求实数k的取值范围解an12(n1)1k2n112n1k2n，an1an2k2n1.an是递减数列，对任意nN，有2k2n10，即k恒成立，kmax2，k的取值范围为(2，)1设an2n229n3，nN，则数列an的最大项是()A103B.C.D108答案D解析an2223，nN，当n7时，an取得最大值，最大值为a72722973108.故选D.2已知数列an的通项公式为ann-1n-1(nN)，则数列an()A有最大项，没有最小项B有最小项，没有最大项C既有最大项又有最小项D既没有最大项也没有最小项答案C解析ann-1n-12n-1，令n-1t，则t是区间(0,1内的值，而ant2t2，所以当n1，即t1时，an取最大值使n-1最接近的n的值为数列an中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项3设ann210n11，则数列an从首项到第几项的和最大()A10B11C10或11D12答案C解析ann210n11是关于n的二次函数，数列an是抛物线f(x)x210x11上的一些离散的点，an前10项都是正数，第11项是0，数列an前10项或前11项的和最大故选C.4数列an中，a12，an2an1(nN，2n10)，则数列an的最大项的值为_答案1024解析a12，an2an1，an0，21，anan1，即an单调递增，an的最大项为a102a922a829a12922101024.5已知数列an中，an1.若a6为最大项，则实数m的取值范围是_答案(11，9)解析根据题意知，y1的图象如下：由a6为最大项，知56.11m9.一、选择题1已知数列an满足a10，2an1an，则数列an是()A递增数列B递减数列C常数列D以上都不对答案B解析a10，an1an，an0，1，an10，数列an是递增数列3已知数列an的通项公式为ann29n100，则其最小项是()A第4项B第5项C第6项D第4项或第5项答案D解析f(x)x29x100的对称轴为x，且开口向上ann29n100的最小项是第4项或第5项4在递减数列an中，ankn(k为常数)，则实数k的取值范围是()ARB(0，)C(，0) D(，0答案C解析an是递减数列，an1ank(n1)knk0.6已知p0，nN，则数列log0.5pn是()A递增数列B递减数列C增减性与p的取值有关D常数列答案C解析令anlog0.5pn.当p1时，pn+1pn，log0.5pn+1log0.5pn，即an1an；当00)在区间(0，)上单调递减，在区间(，)上单调递增，故数列an(nN)在区间(0，)上递增，在区间(，)上递减又23，且a2a3，所以最大项为第2项或第3项8已知数列an的通项公式ann，若对任意的nN，都有ana3，则实数k的取值范围为()A6,12B(6,12) C5,12D(5,12)答案A解析n3对任意的nN恒成立，则k3n，3n，当n4时，k3n，所以k12，当n1时，k3，当n2时，k6，以上三个要都成立，故取交集得6k12.二、填空题9已知数列an的通项公式为an3n228n，则数列an的各项中的最小项是第_项答案5解析易知，an3n228n32，故当n取附近的正整数时，an最小又40时，a1a2a31时，a8a9a10；为使数列an递增还需a7a8.故实数a满足条件解得2a0，即2n1k0，nN恒成立，分离变量得k2n1，故需k3即可，所以k的取值范围为(，3)13已知数列an的通项公式为an.(1)判断an的单调性；(2)求an的最小项解(1)an1an(n1)1，且nN，当1n2时，an1an0，当n3时，an1an0，即n1，n2时，an递减，n3时，an递增(2)由(1)知an的最小项从a2，a3中产生由a2a3，an的最小项为a3.14已知数列an，则数列an中的最小项是第_项答案5解析an，令3n160，得n5时数列递减，最大值为a536，无最小值
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