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第三讲 柯西不等式与排序不等式专题检测试卷(三)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1设a1a2a3an，b1b2b3bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为()A反序和乱序和顺序和B反序和乱序和顺序和C反序和乱序和顺序和D反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案C2已知m2n22，t2s28，则|mtns|的最大值为()A2B4C8D16答案B解析(m2n2)(t2s2)(mtns)2，(mtns)22816，|mtns|4.当且仅当msnt时，等号成立3已知a，b，c为正数，则(abc)的最小值为()A1B.C3D4答案D解析(abc)()2()22224，当且仅当abc时取等号4设a，b，c为正数，ab4c1，则2的最大值是()A.B.C2D.答案B解析1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2，(2)23，即当且仅当ab4c时等号成立5函数f(x)cosx，则f(x)的最大值是()A.B.C1D2答案A解析由f(x)cosx，得f(x)cosx.当且仅当cosx时取等号.6设a，b，c均为实数，则的最大值为()A.B.C.D.答案B解析由(a22b23c2)2，即(a22b23c2)(abc)2，.7已知a，b，x1，x2R，ab1，x1x22，则M(ax1bx2)(bx1ax2)与4的大小关系是()AM4BM4CM4DM4答案C解析(ax1bx2)(bx1ax2)()2()2()2()2(x1x2)2(x1x2)24.8已知xyz1，则2x23y2z2的最小值为()A.B.C.D.答案D解析(2x23y2z2)(xyz)21，2x23y2z2.当且仅当时，等号成立二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9函数y5的最大值为_答案6解析由柯西不等式，得y526，当且仅当5，即x时，等号成立10如图，在矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形面积之和_空白部分的矩形面积之和答案解析由题图可知，阴影部分的面积等于a1b1a2b2，而空白部分的面积等于a1b2a2b1，根据顺序和反序和可知，答案为.11已知0x1,0y1，则函数f(x)的最小值是_答案解析由三角不等式，得.当且仅当x1x，y1y，即x，y时，等号成立故f(x)的最小值为.12设a(2,1,2)，|b|6，则ab的最小值为_，此时b_.答案18(4，2，4)解析根据柯西不等式的向量形成，有|ab|a|b|，|ab|618.当且仅当存在实数k，使akb时，等号成立18ab18.ab的最小值为18，此时b2a(4，2，4)三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)13设a，b，c是正实数，且abc9，求的最小值解(abc)()2()2()2218，当且仅当abc3时等号成立2，的最小值为2.14(2017江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)，因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.15已知二次三项式f(x)ax2bxc的所有系数均为正数，且abc1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1x21时，必有f(x1)f(x2)1.证明f(x1)f(x2)(axbx1c)(axbx2c)a()2bc2f2()f2(1)1.故f(x1)f(x2)1.16已知x22y23z2，求3x2yz的最小值解(x22y23z2)2(3x2yz)2，(3z2yz)2(x22y23z2)12，23x2yz2，当且仅当x29y281z2，即x，y，z时取“”3x2yz的最小值为2.17求三个实数x，y，z，使得它们同时满足下列方程：2x3yz13,4x29y2z22x15y3z82.解将两个方程相加，得(2x)2(3y3)2(z2)2108，又第一个方程可变形为2x(3y3)(z2)18，由及柯西不等式，得(2x)2(3y3)2(z2)22x(3y3)(z2)2，即108182108，即柯西不等式中的等号成立所以2x3y3z26，故x3，y1，z4.18设x，y，zR，且1，求xyz的取值范围解由柯西不等式，得42()2222(xyz)2，即251(xyz)2.|xyz|5，5xyz5.xyz的取值范围是5,5
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