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1.3.2利用导数研究函数的极值1理解函数极值、极值点的有关概念,掌握利用导数求函数极值的方法2注意结合函数的图象理解用导数求函数极值(最值)的方法,逐步养成用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯1函数的极值与最值(1)已知函数yf(x),设x0是定义域内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有_f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值,记作y极大f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个_如果在x0附近都有_,则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个_(2)极大值与极小值统称为_,极大值点与极小值点统称为_(3)函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值(1)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)f(x1)(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能是区间的端点【做一做11】下列说法中正确的是()A若f(x)f(x0),则f(x0)为f(x)的极小值B若f(x)f(x0),则f(x0)为f(x)的极大值C若f(x0)为f(x)的极大值,则f(x)f(x0)D以上都不对【做一做12】若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则()A极大值一定是最大值,且极小值一定是最小值B极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值C极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值D极大值必大于极小值2求函数yf(x)极值的步骤第1步:求_;第2步:求方程_的所有实数根;第3步:考察在每个根x0附近,从左到右,导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负,则f(x0)是_;如果由负变正,则f(x0)是_如果在f(x)0的根xx0的左、右侧,f(x)的符号不变,则f(x0)不是极值可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)x3在x0处导数f(0)0,但x0不是它的极值点,即可导函数在点x0处的导数f(x0)0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件【做一做21】函数yx2x1的极小值是()A1 B C D不存在【做一做22】若函数y2x33x2a的极大值是6,则a_.3求函数yf(x)在a,b上的最大(小)值的步骤第1步:求f(x)在开区间(a,b)内所有使f(x)0的点第2步:计算函数f(x)在区间(a,b)内使f(x)0的所有点和端点的_,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值利用导数法求最值,实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值因此,我们可以在导数法求最值的基础上进行变通,令f(x)0得到方程的根x1,x2,直接求得函数值f(x1),f(x2),然后再与端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程当然导数法与函数的单调性结合,也可以求最值【做一做3】函数f(x)x3x2x在区间2,1上的最大值为_,最小值为_函数的极值与最值有何关系?剖析:如果函数在某些点处不可导,也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最大值和最小值点观察下图中一个定义在区间a,b上的函数f(x)的图象图中f(x1)与f(x3)是极小值,f(x2)是极大值函数f(x)在a,b上的最大值是f(b),最小值是f(x3)一般地,在区间a,b上如果函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线,那么该函数在a,b上必有最大值与最小值注意:(1)在区间(a,b)内函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数不一定有最大值与最小值,如函数f(x)在(0,)内连续,但没有最大值与最小值(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的(3)函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线,是f(x)在区间a,b上有最大值与最小值的充分而不必要条件(4)函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能一个也没有题型一 求函数的极值【例题1】求下列各函数的极值:(1)f(x)x2ex;(2)y.分析:按照求极值的方法,首先从方程f(x)0入手,求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点,然后按极值的定义判断并求值反思:函数的极值研究是导数应用的关键知识点,可加深对函数单调性与其导数关系的理解,yf(x)的导数存在时,f(x0)0是yf(x)在xx0处有极值的必要条件,只有再加上x0两侧附近的导数的符号相反,才能断定yf(x)在xx0处取得极值题型二 求函数在区间a,b上的最值【例题2】已知函数f(x)x,求函数f(x)的最大值分析:求出f(x)的极值及定义域区间端点处的函数值,比较得到最大值反思:如果在区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值如果函数yf(x)在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间a,b上的最值可简化过程,即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较,即可判定最大(或最小)的函数值,就是最大(或最小)值题型三 由函数的最值求参数的值【例题3】已知函数f(x)ax36ax2b,问是否存在实数a,b使f(x)在区间1,2上取得最大值3,最小值29,若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由分析:利用求最值的方法确定a,b的值,注意对a的讨论反思:此类题目属于逆向思维题,但仍可根据求函数最值的步骤来求解,借助于待定系数法求其参数值题型四 易错辨析易错点:对于可导函数,极值点处的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,因此已知函数的极值点求某些参变量的值时,应验证所得结果是否符合题意【例题4】已知f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0,求常数a,b的值错解:因为f(x)在x1处有极值0,且f(x)3x26axb,所以即解得或综上所述,a1,b3或a2,b9.1下列结论中,正确的是()A导数为零的点一定是极值点B如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值C如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值D如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值2下列说法正确的是()A函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值B闭区间上图象连续不断的函数一定有最值,也一定有极值C若函数在其定义域上有最值,则一定有极值,反之,若有极值则一定有最值D若函数在给定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值;但若有极值,则可有多个极值甚至无穷多个3函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是()A5,15 B5,4C4,15 D5,164函数f(x)2x36x218x7的极大值为_,极小值为_5函数y2x36x2m(m为常数),在区间2,2上有最大值3,那么它在区间2,2上的最小值为_答案:基础知识梳理1(1)f(x)极大值点f(x)f(x0)极小值点(2)极值极值点【做一做11】D【做一做12】C2导数f(x)f(x)0极大值极小值【做一做21】B【做一做22】6y6x26x6x(x1),当x(,0)或x(1,)时,y0,原函数为增函数,当x(0,1)时,y0,原函数为减函数,故当x0时,y极大值a6.3函数值【做一做3】12f(x)3x22x1,令f(x)0,得x11,x2,又f(1)1,f(),f(2)2,f(1)1,故函数的最大值为1,最小值为2.典型例题领悟【例题1】解:(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)2xexx2ex(x)x(2x)ex,令f(x)0,得x0或x2,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2从表中可以看出,当x0时,函数有极小值,且f(0)0;当x2时,函数有极大值,且f(2)4e2.(2)y,令y0,得x,当x在R上取值时,y,y的变化情况如下表:xy0y极大值当x时,函数取得极大值,且f().【例题2】解:f(x)1,令f(x)0,得x21ln x,显然x1是方程的解令g(x)x2ln x1,x(0,),则g(x)2x0,函数g(x)在(0,)上单调,x1是方程f(x)0的唯一解当0x1时,f(x)10,当x1时,f(x)0,函数f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递减,当x1时,函数有最大值f(x)maxf(1)1.【例题3】解:显然a0,f(x)3ax212ax3ax(x4),令f(x)0,解得x10,x24(舍去)(1)当a0,x变化时,f(x),f(x)的变化状态如下表:x1,000,2f(x)0f(x)极大值所以当x0时,f(x)取得最大值所以b3.又f(2)16a3,f(1)7a3,f(1)f(2),所以当x2时,f(x)取得最小值,所以16a329,即a2.(2)当a0,x变化时,f(x),f(x)的变化状态如下表:x1,000,2f(x)0f(x)极小值所以当x0时,f(x)取得最小值所以b29.又f(2)16a29,f(1)7a29,f(2)f(1),所以当x2时,f(x)取得最大值,所以16a293,即a2.综上所述,a2,b3或a2,b29.【例题4】错因分析:根据极值定义,函数先减后增为极小值,函数先增后减为极大值,错解中未验证x1两侧函数的单调性,故求错正解:因为f(x)在x1处有极值0,且f(x)3x26axb,所以即解得或当a1,b3时f(x)3x26x33(x1)20,所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去,当a2,b9时,f(x)3x212x93(x1)(x3),当x(3,1)时,f(x)为减函数;当x1,)时,f(x)为增函数所以f(x)在x1处取得极小值,因此a2,b9.随堂练习巩固1B2D3A由f(x)6x26x126(x1)(x2)0,得x1或x2.因为f(0)5,f(2)15,f(3)4,所以f(2)f(3)f(0)所以f(x)maxf(0)5,f(x)minf(2)15.41747由f(x)6x212x186(x1)(x3)0,得x1或x3,当x(,1)时,f(x)0,当x(1,3)时,f(x)0,当x(3,)时,f(x)0,所以极大值为f(1)17,极小值为f(3)47.537y6x212x6x(x2),在(2,2)上,只有x0是f(x)的极值点,且为极大值点f(x)极大值f(0)m,又f(2)1624mm40,f(2)1624mm8.容易判断m40m8m,m3.f(x)minm4037.
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