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三角形全等 完整复习,1,知识点,三角形全等的证题思路：,2,基本图形演变,3,例1：如图，E=F=90，B=C,AE=AF,给出下列结论：1=2; BE=CF; ACNABM; CD=DN.其中正确的结论是 _,C,B,F,E,A,D,1,2,M,N,ABEACF,AC=AB,ACNABM,AEMAFN,AM=AN,MC=NB,MDC= NDB,MDCNDB,CD=BD,DN=DM, ,4,例2、在ABC中，AC=5,中线AD=4，则边AB的取值范围是（ ）A 1AB9 B 3AB13C 5AB13 D 9AB13,A,D,B,C,E,ABDECD,AB=CE,分析：,AE-ACCEAE+AC,8-5CE8+5,3CE13,（三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）,B,延长AD到E，使得AD=DE,5,(2)当DEF旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；,图,图,图,ABCDBF,ABFDBC,BC=BF,BA=BD,ABC=DBF,ABF=DBC,BAF=BDC,AFD=DCA,6,(3)在图中，连接BO、AD，探索BO、AD之间有怎样的位置关系，并证明。,连接BO，AD,由（2）知：ABCDBF,1,2,1=2，AB=DB,AC=DF,3=4,AO=DO,又，BO平分AD即BO垂直平分AD.,BOBO,B=B,7,例3 如图 点C在线段AB上，DAAB， EBAB ,FCAB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB, AFB=51,求DFE的度数。,DFE= AFB- AFD- EFB,分析：,RtDABRtBCF,BD=BF,DBA=BFC,BDA=FBC,DBF= DBA+FBC= 90,BDF=BFD=45,DFA=51-45=6,同理：,DFB=6,DFE=51-6-6=39,证明：在RtDAB和RtBCF中,8,巩固基础,1、如图，AOB中，B=30，将AOB绕点O顺时针旋转52得到 ,则 的度数为_,52,三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。,82,9,例4（1）求证：ABED,(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。,A=D,NCD=90,ANE=DNC,在ANP 和DNC中,P,证明:,APN=NCD=90,ABED,PANCDN,10,例5、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF，将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针旋转，这时AC与DF相交于点O。 （1）当旋转至如图位置，点B(E)，C,D,在同一条直线上时，AFD与DCA的数量关系是_,图,图,相等,11,(2)当DEF旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；,图,图,图,ABCDBF,ABFDBC,BC=BF,BA=BD,ABC=DBF,ABF=DBC,BAF=BDC,AFD=DCA,12,(3)在图中，连接BO、AD，探索BO、AD之间有怎样的位置关系，并证明。,连接BO，AD,由（2）知：ABCDBF,1,2,1=2，AB=DB,AC=DF,3=4,AO=DO,又，BO平分AD即BO垂直平分AD.,BOBO,B=B,13,基础夯实,1、如图，AOB中，B=30，将AOB绕点O顺时针旋转52得到 ,则 的度数为_,52,三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。,82,14,2、如图，OA=OB，OC=OD，O=60, C=25,则BED等于_,60,CBD=60+25=85,OA=OB,OC=OD,O=O,AODBOC,C=D=25,BED=180-85-25=70,70,15,3、如图，把大小为44的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把44的正方形方格图形分成两个全等图形。,画法1,画法4,画法3,图1,画法2,两部分有何关系？,关于正方形中心对称,16,4、如图，ABE和ADC是ABC分别沿着AB、AC边翻折180形成的，若1： 2 ：3=28：5：3，则 的度数为 _,1=140 2=253=15,80,17,5、如图，在ABC中，ADBC于D,CEAB于E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3,AE=4.则CH的长是（ ）,A、 1 B 、 2 C、3 D、4,AE=CE=4,AEHCEB,CE-EH=4-3=1,A,18,6、如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE, 1=2=3,则DE的长等于（ ） A、DC B、BC C、AB D 、AE+AC,D=180-DFA-1,B=180-BFA-2,1=2=3,D= B,AC=CE,1=2=3,BCA=DCE,DCE=BCA,ABCEDC,DE=AB,C,点评：要寻找与已知条件相关的一对全等三角形。,19,7、如图，ABCD,ACDB,AD与BC交于O，AEBC于E，DFBC于F，那么图中全等的三角形有（ ）对 A 5 B 6 C 7 D 8,C,20,8、两块含30角的相同直角三角板，按如图位置摆放，使得两条相等的直角边AC、C1A1共线 （1)图中有多少对全等三角形？并将它们写出来； （2）选择其中一对（ABCA1B1C1除外）进行证明。,(1)3对,AC1=A1C,A=A1,(2)AEC1A1FC,21,9、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示位置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连结DC. (1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；,图1,图2,22,（2）证明：DCBE,图1,又ACB=45,ABE=ACD=45, ACB+ACD=45+45=90,由(1)ABEACD,图2,23,10、在ABC中，ACB=90AC=BC,直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。 （1）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD+BE,证明：,1+3=90,1+2=90，, 2=3,又ADC= CEB=90,AC=BC, ADCCEB, AD=CE,CD=BE, DE=CD+CE=AD+BE,即，DE=AD+BE,24,(2)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD-BE,证明：,BCE+CBE=90,ACD+BCE=90，, ACD=CBE, ADCCEB, AD=CE,CD=BE, DE=CE-CD=AD-BE,即，DE=AD-BE,又ADC= CEB=90,AC=BC,25,(3)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。,DE=BE-AD,提示：,26,能力拓展：,11、在ABC中，高AD和BE 交于H点，且BH=AC，则ABC=_,BDHADC,AD=BD,ABC=BAD=45,135,45或135,27,12、如图，已知AE平分BAC，BEAE于E，EDAC, BAE=36，那么BED=_,BED= BFC,= ABF +BAF,= ABF +2BAE,=90-36 +236,=126,126,EDAC,（同位角相等）,28,13、如图，D是ABC的边上一点，DF交AC于点E，给出三个论断：DE=FE；AE=CE; FCAB,以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确的个数是_,3,29,14、如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是_,ADCEDB,AC=EB=3,AB-EBAEAB+EB,5-3AE5+3,2AE8,提示：延长AD到E，使得AD=DE，并连 接BE,1AD4,1AD4,21/2AE8,30,15、如图，在ABC中,AC=BC，ACB=90.AD平分BAC，BEAD交AC的延长线于F，E为垂足，则结论：AD=BF; CF=CD; AC+CD=AB; BE=CF; BF=2BE,其中正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C、 3 D、 4,ACDBCF,AD=BF; CF=CD; AC+CD=,AC+CF=AF,ABEAFE,AB=AF，成立.,BF=2BE,D,31,16、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD,ABAD，下列结论中正确的是（ ） 、CB-CD B、=CB-CDC、 CB-CD D、与CB-CD的大小关系不确定,EC=CD,AE=AD,分析：,AECADC,BECB-CD,BE=AB-AE=AB-ADCB-CD,A,32,17、考查下列命题：全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。 其中正确的个数有（ ） A、 4个 B、3个 C、2 个 D、 1个,B,33,18、若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是（ ） A、相等 B、互余 C、互补 D、 相等或互补,D,相等,互补,34,19、如图，ABC中，D是BC的中点，DEDF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。,BDECDP,延长ED至P，使DP=DE,并连接FP,CP,EDFPDF,EF=PF,BE=CP,在PFC中，PFCP+CF,即EFCP+CF,=BE+CF,证明：,35,20、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2, ABC=AED=90,求五边形ABCDE的面积。,F,36,21、如图，在ABC中，ABC=60,AD、CE分别平分BAC、 ACB,求证：AC=AE+CD,在AC上取CF=CD，连OF,证AEOAFO,得CODCOF，AOC=120 AOE=DOC=60=FOC,F,37,22、如图，CD是经过BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上的两点，且BEC=CFA=,(1)若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图1，若BCA=90， ，则BE_CF; EF_ (填或者=） 如图2，若0 BCA180,请添加一个关于 与BCA关系的条件_，使中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论。 （2）如图3，若直线CD经过BCA的外部， = BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）,38,A,D,F,C,B,E,图1,A,D,F,C,B,E,图2,(1)证BCECAF，可得 BE=CF，EF=BE-AF；,（3）证BECCFA 可得EF=BE+AF,（2）a+BCA=180;,39,体会读图、分析图形的能力,问题1：如图，你能找到几个三角形？如果AEDBEC，那么它们的对应边、 对应角是什么？这时图中还有没有其他全等三角形？ 问题2：连结C、D两点，添了一条线段又多了多少个三角形呢？又有多少全等三角形呢？ 问题3：观察下列图形，说说哪些三角形可能全等？,40,（1）有公共边的两个三角形可能全等。 （2）有公共角或对顶角的两个三角形也可能全等。,说说我的收获,41,体会分析,问题4：如图，AB=AC，D、E分别在AB、AC上，BC、CD相交于O，,，试说明BD=CE。,分析：（1）,（2）,（3）,ADCAEB,42,体会推理论证和书写过程,通过三角形全等，可以得到线段和角的相等，有的题目通过说明一对三角形全等就可以得出结论，而有的题目，为了说明一对三角形全等，还要说明另一对三角形全等。,请同学把上题的分析过程书写出来，你有何体会呢？,43,做一做,1、如图，要识别ABCADE，除公共角A外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。,（1） ， （ ） （2） ， （ ） （3） ， （ ） （4） ， （ ） （5） ， （ ） （6） ， （ ） （7） ， （ ）,SAS,44,2、如图，D为BC中点，DFAC，且DE=DF，B与C相等吗？为什么？,45,3、如图，AB=AC，BD、CE是ABC的角平分线，ABDCBE吗？为什么？,46,4、如图，AB=AD，AC=AE，BAE= DAC，ABC与ADE全等吗？,47,考考你，学得怎样？,1、如图1，已知AC=BD，1=2，那么ABC ， 其判定根据是_。,2、 如图2，ABC中，ADBC于D，要使ABDACD，若根据“HL”判定，还需加条件_ = _，,3、 如右图，已知AC=BD， A =D ，请你添一个直接条件，_= ， 使AFCDEB,48,4、如图，已知ABAC，BECE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有（ ） （A）1对 （B）2对 （C）3对 （D）4对,5、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） （A）一锐角和斜边对应相等 （B）两条直角边对应相等 （C）斜边和一直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等,6、下列四组中一定是全等三角形的为 （ ） A三内角分别对应相等的两三角形 B、斜边相等的两直角三角形 C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形 D、三边对应相等的两个三角形,49,问题：如果要证明两个三角形全等，题中只给出两个条件，现在又不允许添加条件，你有办法证明两个三角形全等吗？,例：如图AB=AC，AD=AE,你能指出图中哪些三角形全等？,缺什么条件，题中能找到吗？,公共角,例：如图AB=AC，BD=CD,你能指出图中哪些三角形全等？,公共边,50,答：证法错误。 SAS定理应用错误。,51,（1）如图，ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的长。,练习：,52,（2）如图,在ABC中, ACB=90,AO是角平分线,点D在AC的延长线上,DE过点O且DEAB,垂足为E. (1) 请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由;,解：ACB=90BCACAO平分BAC又DEAB BCAC OE=OC（角平分线上的点到角两边的距离相等,（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来， 并说明理由,练习：,53,练习：,3、如图， B= C=90度，M是BC的中点，DM平分ADC， 求证：AM平分DAB,A,D,C,B,M,E,54,说一说: 在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。你知道他用的是什么方法？其中的原理是什么？,55,56,试一试 已知：A、B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量A、B间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明依据。,57,E,C,D,C,D,C,D,58,试一试,你准行,已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D， 试说明：BD=CD,解：在ABE和ACE中 AB=AC，EB=EC，AE=AE ABEACE (SSS) BAECAE 在ABD和ACD中 AB=AC BAE= CAE AD=AD ABD ACD (SAS ) BD = CD,59,
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