2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(192).doc

2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(192)1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 已知数列均为等差数列，且.则.2. 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点.若实数使得的直线恰有三条，则.3. 一个的长方体能装下8个半径为1的小球和1个半径为2的大球.则的最小值为.4. 已行集合，为集合到的函数.则函数的像集交为空的函数对的个数为.5. 已知.则所有满足等式的的和为.6. 存在正整数数对满足的正整数的个数为（表示正整数与的最小公倍数）.7. 已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.若其中一人比另一人多赢两局，则游戏结束.那么，需要进行的游戏局数的数学期望为.8. 已知为抛物线上的动点，点在轴上，是的内切圆.则的最小值为.二、解答题（共56分）9.（16分）求所有的正实数，使得对于任意正实数，均有.10.（20分）已知实数，满足，其中，.若，且，求以下表达式的值.11.（20分）为多项式的三个根，满足，且复平面上的三点恰构成一个直角三角形.求该直角三形的斜边的长度.一、（40分）如图1，的内切圆分别与边切于点，与交于点，设点关于直线的对称点分别.证明：直线三线共点.二、（40分）在锐角中，证明：三、（50分）求最大的正整数，使得对于任意整数，若，均有.四、(50分)在一次数学竞赛中，某些选手是朋友关系.记所有选手的集合为，对集合的子集，若可以将这些人两两分组，且每组中两名选手均是朋友关系，则称子集“可两两分组”.已知集合不可两两分组，且对于任意选手，若不是朋友关系，则可两两分组，且中没有一个人与其他所有人均为朋友关系.证明：对任意选手，若为朋友关系，为朋友关系，则也为朋友关系.