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第07节 解三角形及其应用举例A 基础巩固训练1.【2018届甘肃省一诊】中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形与正方形的面积分别为25和1，则（ ）A B C D 【答案】D【解析】设AE=也，BE=y,则x+1=y,解得x=3,y=4,故得到.故答案为：D.2【2018届高三训练(29)】北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度为50秒，升旗手匀速升旗的速度为()A (米/秒) B (米/秒)C (米/秒) D (米/秒)【答案】A3. 要测量顶部不能到达的电视塔的高度, 在点测得塔顶的仰角是,在点测得塔顶的仰角是,并测得水平面上的，则电视塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意，设，则中， ，可得，同理可得中， ， 在中， ， 由余弦定理得， ，整理得： ，解之得或（舍），即电视塔的高度为米，故选D.4两灯塔与海洋观察站的距离都为，灯塔在的北偏东，在的南偏东，则两灯塔之间距离为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意画出图形，如图所示：易得ACB=90，AC=BC=a.在ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2a2，所以AB=（km）.故选C .5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m【答案】A【解析】设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m. B能力提升训练1如下图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，是可供测量的数据下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()Ac和 Bc和bCc和 Db和 【答案】D【解析】根据直角三角形的特征，只要知道一条边和一个夹角即可求出河宽.2【2015高考湖北】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【答案】3轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是()A35海里 B35海里C35海里 D70海里【答案】D【解析】设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE25250，CF15230，且ECF120，EF70.4.【2019届高考全程训练月考二】某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路向走去，走到达，此时测得距离为，若此人必须在分钟内从处到达处，则此人的最小速度为()A B C D 【答案】B【解析】由已知得CAB253560，BC31，CD21，BD20，可得，那么，于是在ABC中， 24，在ABC中，BC2AC2AB22ACABcos60，即312242AB224AB，解得AB35或AB11(舍去)，因此ADABBD352015.故此人在D处距A处还有15 km，若此人必须在20分钟，即小时内从D处到达A处，则其最小速度为1545(km/h)故选B.5【2017山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求， 的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，则最短为（ ）A. 米 B. 米 C. 米 D. 米【答案】DC思维扩展训练1. 如图：D， C，B三点在地面同一直线上，DC，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】因为，所以.2.【2018届赣州二模】如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（ ）A 海里 B 海里 C 海里 D 40海里【答案】A【解析】在中，所以，由正弦定理可得：，解得，在中，所以，在中，由余弦定理可得：，解得.3.【2017安徽马鞍山二模】在边长为2的正三角形的边上分别取两点，点关于线段的对称点正好落在边上，则长度的最小值为_【答案】【解析】显然两点关于折线对称，连接，可得，则有，设， ，再设，则有，在中， ， ，又，在中，由正弦定理知，即， ，所以当时，即时， ，此时取得最小值，且，则的最小值为，故答案为.4.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值 .【答案】【解析】由勾股定理可得，过作，交于，连结，则，设，则，由得，在直角中，故，令，令得，代入得，故的最大值为5. 【2018届江苏海安上学期第一次测试】如图，已知是一幢6层的写字楼，每层高均为3m，在正前方36m处有一建筑物，从楼顶处测得建筑物的张角为.（1）求建筑物的高度；（2）一摄影爱好者欲在写字楼的某层拍摄建筑物.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？【答案】(1)30米;(2) 当时，张角最大，拍摄效果最佳.【解析】试题分析：（1）先作于，构造直角三角形，然后运用两角差的正切公式求出，再求出；（2）先依据题设求出，然后建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解：解：（1）如图，作于，则.所以，.因为，所以.所以.答：建筑物的高度为30米.因为函数在上是单调增函数，所以当时，张角最大，拍摄效果最佳.答：该人在6层拍摄时效果最好.
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