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课时分层作业 七十六证明不等式的基本方法 (45分钟60分)1.(10分)已知a0,b0,求证:+.【证明】因为-(+)=+=+=0,所以原不等式成立.【一题多解】由于(+)=-1-1=1.又a0,b0,0.所以+.2.(10分)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:+3.【解题指南】根据a,b,c全不相等,推断出与,与,与全不相等,然后利用基本不等式求得+2,+2,+2,三式相加整理求得+3,原式得证.【证明】因为a,b,c全不相等,所以与,与,与全不相等,所以+2,+2,+2,三式相加得,+6,所以+3,即+3.【变式备选】(2018南阳模拟)已知函数f(x)=k-|x-3|,kR,且f(x+3)0的解集为-1,1.(1)求k的值.(2)若a,b,c是正实数,且+=1,求证:a+2b+3c9.【解析】(1)因为f(x)=k-|x-3|,所以f(x+3)0等价于|x|k,由|x|k有解,得k0,且解集为-k,k.因为f(x+3)0的解集为-1,1.因此k=1.(2)由(1)知+=1,因为a,b,c为正实数.所以a+2b+3c=(a+2b+3c)(+)=3+=3+3+2+2 +2 =9.当且仅当a=2b=3c时,等号成立.因此a+2b+3c9.3.(10分)已知x0,y0,且x+y=1,求证:9.【解题指南】可将所证不等式左边展开,运用已知和基本不等式可得证,也可以用x+y取代“1”,化简左边,然后再用基本不等式.【证明】因为x0,y0,所以1=x+y2.所以xy.所以=1+=1+=1+1+8=9.当且仅当x=y=时,等号成立.【一题多解】因为x+y=1,x0,y0,所以=5+25+22=9.当且仅当x=y=时, 等号成立.4.(10分)某同学在一次研究性学习中发现,以下5个不等关系式子-12-;2-;-2;-2-;-2-.(1)上述五个式子有相同的不等关系,根据其结构特点,请你再写出一个类似的不等式.(2)请写出一个更一般的不等式,使以上不等式为它的特殊情况,并证明.【解析】(1)-2-3(答案不唯一).(2)-.证明:要证原不等式,只需证+,因为不等式两边都大于0,只需证2a+3+22a+3+2,只需证,只需证a2+3a+2a2+3a,只需证20,显然成立,所以原不等式成立.5.(10分)已知(0,),求证:2sin 2 .【证明】2sin 2-=4sin cos -=-,因为(0,),所以sin 0,1-cos 0,又(2cos -1)20,所以2sin 2-0,所以2sin 2.6.(10分)(2018泉州模拟)设a,b为正实数,且+=2.(1)求a2+b2的最小值.(2)若(a-b)24(ab)3,求ab的值.【解析】(1)由2=+2得ab,当a=b=时取等号.故a2+b22ab1,当a=b=时取等号.所以a2+b2的最小值是1,当且仅当a=b=时取得最小值.(2)由(a-b)24(ab)3得4ab.即-4ab,从而ab+2.又ab+2,当且仅当ab=1时取等号.所以ab=1.
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