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第三章 变化率与导数章末复习学习目标1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算1函数yf(x)在xx0处的导数(1)函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)，即f(x0).(2)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率，在点P处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)，f(x)，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数3导数公式表原函数导函数f(x)c(c是常数)f(x)0f(x)x(为实数)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)ax(a0，a1)f(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logax(a0，a1)f(x)f(x)lnxf(x)f(x)tanxf(x)f(x)cotxf(x)4导数的四则运算法则设两个函数f(x)，g(x)可导，则和的导数f(x)g(x)f(x)g(x)差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)商的导数1f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()2若y，则y3.()3因为(lnx)，则lnx()题型一导数几何意义的应用例1求过曲线ysinx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程解ysinx，ycosx，曲线在点P处的切线斜率kcos，过点P且与切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y，即2xy0.反思感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型跟踪训练1设函数f(x)x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行(1)求a的值；(2)求f(x)在x3处的切线方程考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1.f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.题型二导数的计算例2求下列函数的导数：(1)yx2lnxax；(2)y34；(3)y.考点导数的运算法则题点导数运算法则的应用解(1)y(x2lnxax)(x2)(lnx)(ax)2xaxlna.(2)y(34)(3)(4)46.(3)y.反思感悟有关导数的计算应注意以下两点(1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则(2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y；(2)y.考点导数的运算法则题点导数运算法则的应用解(1)yx5，yx511.(2)ycosxsinx，y(cosxsinx)(cosx)(sinx)sinxcosx.题型三导数的综合应用例3设函数f(x)a2x2(a0)，若函数yf(x)图像上的点到直线xy30距离的最小值为，求a的值考点导数的综合应用题点导数的综合应用解因为f(x)a2x2，所以f(x)2a2x，令f(x)2a2x1，得x，此时y，则点到直线xy30的距离为，即，解得a或.反思感悟利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算跟踪训练3已知直线x2y40与抛物线y2x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使ABP的面积最大考点导数的综合应用题点导数的综合应用解设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图由于直线x2y40与抛物线y2x相交于A，B两点，所以|AB|为定值，要使ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y，y，由题意知kAB.kl，即x01，y01.P(1,1)1下列说法正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处就没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在答案C解析kf(x0)，所以f(x0)不存在只说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为xx0.2已知函数f(x)x22x，则f(2)等于()A16ln2B168ln2C816ln2D1616ln2考点导数的乘法与除法法则题点利用导数的乘除法则求导答案D解析f(x)2x2xx22xln2，f(2)1616ln2.3设函数f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值为()A.B.C.D.答案D解析f(x)3ax26x，f(1)4，3a64，a.4若直线yxb是曲线ylnx(x0)的一条切线，则实数b.考点基本初等函数的导数公式题点与切线有关的问题答案ln21解析设切点为(x0，y0)，y，x02，y0ln2，ln22b，bln21.5已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，求点A的纵坐标考点导数的综合应用题点导数的综合应用解由于P，Q为抛物线x22y上的点，且横坐标分别为4，2，则P(4,8)，Q(2,2)，从而在点P处的切线斜率kf(4)4.由点斜式，得曲线在点P处的切线方程为y84(x4)；同理，曲线在点Q处的切线方程为y22(x2)；上述两方程联立，解得交点A的纵坐标为4.1利用定义求函数的导数是逼近思想的应用2导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率3对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量
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