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课时分层作业 四十九直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题(每小题5分,共35分)1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为,且sin +cos =0,则a,b满足()A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.因为sin +cos =0,所以tan =-1.又因为为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.2.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为()A.-,1B.(-,-1,+)C.D.1,+)【解析】选B.因为kAP=1,kBP=-,所以k(-,-1,+).3.(2018开封模拟)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为()A.3x+4y+15=0B.4x+3y+6=0C.3x+y+6=0D.3x-4y+10=0【解析】选A.设所求直线的斜率为k,依题意k=-,又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-1k1或k1或k或k-1【解析】选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-31-或k0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+2=(当且仅当a=b=2时取等号),所以2.又a+b2(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b4(当且仅当a=b=2时取等号).【一题多解】选C.因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)=2+2+2=4.(当且仅当a=b=2时取等号).5.(2018张家口模拟)若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线x-y=3的倾斜角的2倍,则()A.m=-,n=1B.m=-.n=-3C.m=,n=-3D.m=,n=1【解析】选D.对于直线mx+ny+3=0,令x=0得y=-,即-=-3,n=1.因为x-y=3的斜率为60,直线mx+ny+3=0的倾斜角是直线x-y=3的2倍,所以直线mx+ny+3=0的倾斜角为120,即-=-,m=.6.若直线l:kx-y+2+4k=0(kR)交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,则当AOB的面积取最小值时直线l的方程为()A.x-2y+4=0B.x-2y+8=0C.2x-y+4=0D.2x-y+8=0【解析】选B.由l的方程,得A,B(0,2+4k).依题意得解得k0.因为S=|OA|OB|=|2+4k|=(28+16)=16.当且仅当16k=,即k=时,等号成立.此时l的方程为x-2y+8=0.7.经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程为()A.5x+2y=0或x+2y+1=0B.x+2y+1=0C.2x+5y=0或x+2y+1=0D.2x+5y=0【解析】选C.当截距为零时,直线方程为y=-x;当截距不为零时,设直线方程为+=1,因为直线过点A(-5,2),所以+=1,计算得b=-,所以直线方程为+=1,即x+2y+1=0.所以所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修2P100习题3.2A组T5“一条直线经过点A(2,-3),并且它的斜率等于直线y=x的斜率的2倍,求这条直线的方程”.【变式备选】已知直线l经过点(7,1),且在两坐标轴上的截距之和为零,求直线l的方程.【解析】当直线l经过原点时,直线l在两坐标轴上截距均等于0,故直线l的斜率为,所以所求直线方程为y=x,即x-7y=0.当直线l不过原点时,设其方程为+=1,由题意可得a+b=0,又l经过点(7,1),且+=1,由得a=6,b=-6,则l的方程为+=1,即x-y-6=0.故所求直线l的方程为x-7y=0或x-y-6=0.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若直线y=kx+1与以A(3,2),B(2,3)为端点的线段有公共点,则k的取值范围是_.【解析】由题可知直线y=kx+1过定点P(0,1),且kPB=1,kPA=,结合图象可知,当直线y=kx+1与以A(3,2),B(2,3)为端点的线段有公共点时,k的取值范围是.答案:9.将直线y=x+-1绕它上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15,所得到的直线方程是_.【解析】由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45.因为沿逆时针方向旋转15,角变为60,所以所求直线的斜率为.又因为直线过点(1,),所以直线方程为y-=(x-1),即y=x.答案:y=x10.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45和30角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,直线AB的方程为_.【解析】由题意可得kOA=tan 45=1,kOB=tan(180-30)=-,所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.设A(m,m),B(-n,n),所以AB的中点C,由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得解得m=,所以A(,).又P(1,0),所以kAB=kAP=,所以lAB:y=(x-1),即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.答案:(3+)x-2y-3-=01.(5分)(2018张家口模拟)直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(mR)两点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.直线l的斜率k=tan =1+m21,所以.2.(5分)已知直线l过点A(1,2),且倾斜角为直线l0:3x-y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为()A.x-y+=0B.x-y-3=0C.x+y-3=0D.x+y-=0【解析】选C.直线l0的斜率k0=,所以倾斜角0=;故直线l的倾斜角=20=,斜率k=-,直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.【变式备选】已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为()A.y=x+2B.y=x-2C.y=x+D.y=-x+2【解析】选A.因为直线x-2y-4=0的斜率为,所以直线l在y轴上的截距为2,所以直线l的方程为y=x+2.3.(5分)过点P(4,1)作直线l分别交x,y轴正半轴于A,B两点,当AOB面积最小时,直线l的方程为_.【解析】设直线方程为+=1,因为直线过点P(4,1),所以+=1.AOB的面积S=ab.+=12,解得ab16,当且仅当=,即a=8,b=2时取等号,此时AOB的面积S有最小值8,直线l的方程为+=1,即x+4y-8=0.答案:x+4y-8=04.(12分)(2018泸州模拟)求过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点,且|AB|=5的直线方程.【解析】过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1.解方程组得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即x=1为所求.设过点A(1,-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),解方程组得(k-2,否则与已知直线平行).两直线交点B的坐标为.由已知+=52,解得k=-,所以y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0.综上可知,所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0.5.(13分)已知在ABC中,点A的坐标为(1,3),AB,AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求ABC各边所在直线的方程.【解析】设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,其中D,E分别为AB,AC的中点,因为点B在中线y-1=0上,所以设B点坐标为(x,1).又因为A点坐标为(1,3),D为AB的中点,所以由中点坐标公式得D点坐标为.又因为点D在中线x-2y+1=0上,所以-22+1=0x=5,所以B点坐标为(5,1).同理可求出C点的坐标是(-3,-1).故可求出ABC三边AB,BC,AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0,x-4y-1=0和x-y+2=0.
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