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第二章 几个重要的不等式章末复习学习目标1.梳理本章的重点知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，并能够熟练应用.3.理解数学归纳法的基本思想，初步形成“归纳猜想证明”的思维模式1柯西不等式定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2.当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立定理2：设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立即时(规定ai0时，bi0)等号成立推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时等号成立2排序不等式定理1：设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么acbdadbc.当且仅当ab(或cd)时取“”号定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组a1a2an及b1b2bn，则(顺序和)a1b1a2b2anbn(乱序和)(逆序和)a1bna2bn1anb1.其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列方式，上式当且仅当a1a2an(或b1b2bn)时取“”号3贝努利不等式对任何实数x1和任何正整数n，有(1x)n1nx.4数学归纳法数学归纳法原理是证明关于正整数n的命题步骤：(1)验证当n取第一个值n0(如n01或2等)时命题正确(2)假设当nk时(kN，kn0)命题正确，证明当nk1时命题也正确.类型一利用柯西不等式证明不等式例1已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：.证明由柯西不等式知，2，于是.等号成立abcd.又已知a，b，c，d不全相等，则中等号不成立即.反思与感悟利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1,2，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会跟踪训练1设a，b，c为正数且abc1，求证：222.证明左边(121212)222(19)2.等号成立的条件均为abc，原结论成立类型二利用排序不等式证明不等式例2设A，B，C表示ABC的三个内角弧度数，a，b，c表示其对边，求证：.证明不妨设abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.三式相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得.引申探究若本例条件不变，求证：.证明不妨设abc，于是ABC.由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.反思与感悟利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷跟踪训练2设a，b，c为正数，求证：a10b10c10.证明由a，b，c的对称性，不妨设abc，于是a12b12c12，.由排序不等式，得.又因为a11b11c11，再次由排序不等式，得.由得a10b10c10.等号成立的条件为abc.类型三归纳猜想证明例3已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an(2)证明当n2时，a252225，公式成立假设当nk时成立，即ak52k2(k2，kN)，当nk1时，由已知条件和假设，有ak1Ska1a2ak551052k2552k1.故当nk1时公式也成立由可知，对n2，nN均有an52n2.所以数列an的通项an反思与感悟利用数学归纳法解决探索型不等式的思路：观察归纳猜想证明即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明跟踪训练3在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想an，bn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想(1)解由条件可得2bnanan1，abnbn1，则a22b1a16，b29；a32b2a212，b316；a42b3a320，b425.猜想ann(n1)，bn(n1)2.(2)证明当n1时，由a12，b14知，结论正确假设当nk(k1，kN)时结论正确，即akk(k1)，bk(k1)2.则当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.即当nk1时结论正确由知猜想的结论正确类型四利用柯西不等式或排序不等式求最值例4(1)求实数x，y的值，使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值解由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，当且仅当，即x，y时，上式取等号故x，y.(2)设a1，a2，a3，a4，a5是互不相等的正整数，求Ma1的最小值解设b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一个排列，且b1b2b3b4b5.因此b11，b22，b33，b44，b55.又1.由排序不等式，得a1b11123451.即M的最小值为.反思与感悟利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略跟踪训练4已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围解.故的取值范围是.1函数y2的最大值为()A.BC3D3答案D解析y2(1)2()212()2()2339.y3，y的最大值为3.2设x，y，m，n0，且1，则uxy的最小值是()A()2B.C.D(mn)2答案A解析根据柯西不等式，得xy(xy)22，当且仅当时，等号成立，这时u取最小值()2.3设a1，a2，an都是正数，b1，b2，bn是a1，a2，an的任一排列，Pababab，Qa1a2an，则P与Q的大小关系是()APQBPQCP0，可知aaa，aaa.由排序不等式，得abababaaaaaa，即abababa1a2an.PQ，当且仅当a1a2an0时等号成立4用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_答案k35k3k(k1)6解析(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3k23k6k35k3k(k1)6.5用数学归纳法证明1234n2(nN)，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上_答案(k21)(k1)2解析当nk1时，左端123k2(k21)(k1)2，所以增加了(k21)(k1)2.1对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式2参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想3对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列4数学归纳法是用来证明和正整数有关的命题的，要特别注意归纳奠基和归纳递推是必不可少的两个步骤一、选择题1已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，则a的最大值是()A1B2C3D4答案B解析(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.5a2(3a)2.解得1a2.验证：当a2时，等号成立2已知2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.，B.，C1，D1，答案B解析由柯西不等式，得(223242)(x2y2z2)(2x3y4z)2，即x2y2z2.当且仅当时，等号成立，联立可得x，y，z.3已知x，yR，且xy1，则的最小值为()A4B2C1D.答案A解析22224.4已知a，b，x1，x2R，ab1，x1x22，则M(ax1bx2)(bx1ax2)与4的大小关系是()AM4BM4CM4DM4答案C解析M(ax1bx2)(bx1ax2)()2()2()2()2(x1x2)2(x1x2)24.5用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n，不等式成立时，当n2时验证的不等式是()A1B.C.D以上都不对答案A解析当n2时，2n13,2n15，1.6用数学归纳法证明不等式1(nN)成立，其初始值至少应取()A7B8C9D10答案B解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.二、填空题7设f(n)，用数学归纳法证明f(n)3，在假设当nk时成立后，f(k1)与f(k)的关系是f(k1)f(k)_.答案解析f(k)，f(k1)，f(k1)f(k).8设数列an满足a12，an12an2，用数学归纳法证明an42n12的第二步中，设当nk时结论成立，即ak42k12，那么当nk1时，应证明等式_成立答案ak142(k1)129设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用含n的式子表示)答案5(n2)(n1)解析f(3)2，f(4)5，f(5)9，f(6)14，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(6)f(5)5，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(3)34(n1)(n3)f(n)(n2)(n1)10如图，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形面积之和_空白部分的矩形面积之和答案解析由题图可知，阴影部分的面积等于a1b1a2b2，而空白部分的面积等于a1b2a2b1，根据顺序和逆序和可知，答案为.三、解答题11已知f(n)(2n7)3n9(nN)，用数学归纳法证明f(n)能被36整除证明(1)当n1时，f(1)(27)3936，能被36整除(2)假设当nk(kN)时，f(k)(2k7)3k9能被36整除，则当nk1时，f(k1)2(k1)73k19(2k7)3k123k19(2k7)3k323k193(2k7)3k92723k193(2k7)3k918(3k11)由于3k11是2的倍数，故18(3k11)能被36整除，即当nk1时，f(k1)也能被36整除根据(1)和(2)可知，对一切正整数n，都有f(n)(2n7)3n9能被36整除12设x1，x2，xnR，且x1x2xn1.求证：.证明(n1)(1x11x21xn)2(x1x2xn)21，.13已知a，b，c为正数，求证：abc.证明考虑到正数a，b，c的对称性，不妨设abc0，则，bccaab，由排序不等式知，顺序和乱序和，即abc.a，b，c为正数，两边同乘以，得abc.四、探究与拓展14上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是()Af(n)nBf(n)f(n)f(n2)Cf(n)f(n)f(n2)Df(n)答案D解析当n3时，f(n)分两类，第一类，从第n1层再上一层，有f(n1)种方法；第二类，从第n2层再一次上两层，有f(n2)种方法，所以f(n)f(n1)f(n2)，n3.15已知f(n)1(nN)，g(n)2(1)(nN)(1)当n1,2,3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论解(1)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(3)g(3)(2)当n1时，f(1)g(1)；当n2时，f(2)g(2)；当n3时，f(3)g(3)猜想：f(n)g(n)(nN)，即12(1)(nN)下面用数学归纳法证明当n1时，f(1)1，g(1)2(1)，f(1)g(1)，不等式成立假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，即12(1)则当nk1时，f(k1)12(1)22，g(k1)2(1)22，所以只需证明22，即证2(k1)12k32，即证(2k3)24(k2)(k1)，即证4k212k94k212k8，此式显然成立所以，当nk1时不等式也成立综上可知，对nN，不等式都成立，即12(1)(nN)成立
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