资源描述
第2课时椭圆的几何性质的应用学习目标1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识知识点一点与椭圆的位置关系设P(x0，y0)，椭圆1(ab0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外1P在椭圆上1P在椭圆内0相切一解0相离无解b0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线()4直线yk(xa)与椭圆1的位置关系是相交()题型一直线与椭圆的位置关系命题角度1直线与椭圆位置关系判断例1直线ykxk1与椭圆1的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定答案A解析直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交反思感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1)0直线与椭圆相交有两个公共点(2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点(3)0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则有两式相减得0，整理得kAB，由于P(4,2)是AB的中点，x3x48，y3y44，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.引申探究若P(4,2)恰是直线l：x2y80被椭圆1(ab0)所截弦AB的中点，求该椭圆的离心率解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，kAB，a24b2.又c2a2b23b2，e2，e.反思感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系跟踪训练3已知椭圆ax2by21(a0，b0且ab)与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程解方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.A，B为直线xy10上的点，1.由已知得kOC，代入式可得ba.直线xy10的斜率k1.又|AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.联立ax2by21与xy10，消去y，得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224.将ba代入式，解得a，b.所求椭圆的方程是1.方法二由得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且直线AB的斜率k1，|AB|.|AB|2，2，1.设C(x，y)，则x，y1x.OC的斜率为，将其代入式得，a，b.所求椭圆的方程为1.题型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解(1)由消去y，得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB|.所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程解可求得O到AB的距离d，又|AB|，SAOB|AB|d，当且仅当m2m2时，上式取“”，此时m.所求直线方程为xy0.反思感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪训练4若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_答案6解析由椭圆方程得F(1,0)，设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)xx0y.P为椭圆上一点，1.xx03x03(x02)22.2x02，的最大值在x02时取得，且最大值等于6.转化化归思想在椭圆中的应用典例已知椭圆C的方程为1(ab0)，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P到F1，F2的距离和等于4.(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)直线l过定点M(0,2)，且与椭圆C交于不同的两点A，B，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围考点题点解(1)由题意得2a4，即a2，又点P在椭圆C上，1，即b21，椭圆C的方程为y21，焦点F1(，0)，F2(，0)(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l：ykx2，代入y21，整理得(14k2)x216kx120，(16k)24(14k2)1216(4k23)0，得k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2.原点O在以线段AB为直径的圆外，AOB为锐角，cosAOB0，则x1x2y1y20，又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40.k24，k20且m1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为()A1B.C2D2答案D解析联立消去y，得(m21)x22x6m20，(2)24(m21)(6m2)0，即4m2(m25)0，m0且m1，m，故选D.3设F1，F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于()A0B2C4D2答案D解析由题意，得c，又2|F1F2|h(h为F1F2边上的高)，当hb1时，取最大值，此时F1PF2120.|cos120222.4过点P(1,1)的直线交椭圆1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为_答案x2y30解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又两式相减得.AB所在的直线方程为x2y30.5直线l：ykx1与椭圆y21交于M，N两点，且|MN|，求直线l的方程解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(12k2)x24kx0，所以x1x2，x1x20.由|MN|，得(x1x2)2(y1y2)2，所以(1k2)(x1x2)2，所以(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)2，化简得k4k220，所以k21，所以k1.所以所求直线l的方程是yx1或yx1.1直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|(k为直线斜率)(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况2解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错3最值往往转化为函数最值或利用数形结合思想一、选择题1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相切B相交C相离D不确定考点题点答案B解析直线ykxk1可变形为y1k(x1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆1内部，所以直线ykxk1与椭圆1相交，故选B.2已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是()A42，42 B4，4C42，42 D4，4答案A解析方程可化为1，故椭圆焦点在y轴上，又a2，b，所以m，故422m424.3直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1Bm1或0m1C0m2，a2b24，即1，1，点(a，b)在椭圆内部，故直线与椭圆有2个交点6已知椭圆x22y24，则以(1,1)为中点的弦的长度是()A3B2C.D.答案C解析设以(1,1)为中点的弦的两端为A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0，又，所在直线方程为y1(x1)，即yx，由得3x26x10，x1x22，x1x2.|AB|.二、填空题7直线ya与椭圆1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_答案(2,2)解析如图，2ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率为_答案1解析由直线方程y(xc)，得直线与x轴的夹角MF1F2，且过点F1(c,0)MF1F22MF2F1，MF1F22MF2F1，即F1MF2M.在RtF1MF2中，|F1F2|2c，|F1M|c，|F2M|c，由椭圆定义可得2acc，离心率e1.10过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为原点，则OAB的面积为_答案解析直线方程为y2x2，与椭圆方程1联立，可以解得A(0，2)，B，SOAB|OF|yAyB|(也可以用设而不求的方法求弦长|AB|，再求出点O到AB的距离，进而求出AOB的面积)11若椭圆mx2ny21(m0，n0)与直线xy10交于A，B两点，若，则过原点与线段AB的中点M的连线的斜率为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0，即0.1，kOM.三、解答题12已知点A，B是椭圆C：1(a0，b0)与直线x3y20的交点，点M是AB的中点，且点M的横坐标为，若椭圆C的焦距为8，求椭圆C的方程解设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，依题意得kAB0，点M，0，a23b2.又c4，a224，b28，经检验，a224，b28符合题意，椭圆C的方程为1.13已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)根据题意知解得a2，b2.故椭圆C的方程为1.(2)容易求得椭圆C的方程为y21.当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)由消去y，得(2k21)x24k2x2(k21)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，因为，所以0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k.故直线l的方程为xy10或xy10.14椭圆1(ab0)与直线xy10相交于P，Q两点，且(O为坐标原点)(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围(1)证明椭圆的方程可化为b2x2a2y2a2b20.由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.由4a44(a2b2)a2(1b2)0，得a2b21.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.，x1x2y1y20，即2x1x2(x1x2)10，即10，a2b22a2b2，即2.等于定值(2)解e，b2a2c2a2a2e2.又a2b22a2b2，2e22a2(1e2)，即a2.e，a2，即a，2a，即椭圆长轴长的取值范围是，15.已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程解(1)由题设知解得椭圆的方程为1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d1，得|m|.(*)|CD|22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，(m)24(m23)0，得m24.由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2m23.|AB|.由，得1，解得m，满足(*)，也满足0，直线l的方程为yx或yx.
展开阅读全文