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考点测试19三角函数的图象与性质高考概览考纲研读1能画出ysinx,ycosx,ytanx的图象,了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性,最大值和最小值,图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性一、基础小题1函数y3cosx的最小正周期是()A B C2 D5答案D解析由T5,知该函数的最小正周期为5故选D2已知f(x)sin,g(x)cos,则f(x)的图象()A与g(x)的图象相同B与g(x)的图象关于y轴对称C向左平移个单位,得到g(x)的图象D向右平移个单位,得到g(x)的图象答案D解析因为g(x)coscossinx,所以f(x)向右平移个单位,可得到g(x)的图象,故选D3函数y2sinx1,x,的值域是()A3,1 B2,1 C(3,1 D(2,1答案D解析由ysinx在,上,1sinx,所以函数y2sinx1,x,的值域是(2,1故选D4函数ycos2x2sinx的最大值与最小值分别为()A3,1 B3,2 C2,1 D2,2答案D解析ycos2x2sinx1sin2x2sinxsin2x2sinx1,令tsinx,则t1,1,yt22t1(t1)22,所以最大值为2,最小值为2故选D5若函数f(x)sinx为偶函数,则cos2的值为()A B C D答案C解析由题意k,kZ,所以22k,kZ,所以cos2coscos故选C6函数y2sin2x的单调递增区间为()Ak,k(kZ)Bk,k(kZ)Ck,k(kZ)Dk,k(kZ)答案A解析y2sin2x2sin2x,2k2x2k(kZ),即kxk(kZ),即增区间为k,k(kZ)故选A7函数ysinxcosxsinxcosx的值域为_答案,1解析设tsinxcosx,则tsinx,t,t2sin2xcos2x2sinxcosx,sinxcosx,yt(t1)21当t1时,ymax1;当t时,ymin函数的值域为,18函数ylg (sin2x)的定义域为_答案解析由得3x或0x0且a,即a的最大值为故选C13(xx全国卷)设函数f(x)cos,则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减答案D解析f(x)的最小正周期为2,易知A正确;fcoscos31,为f(x)的最小值,故B正确;f(x)cosxcosx,fcoscos0,故C正确;由于fcoscos1,为f(x)的最小值,故f(x)在,上不单调,故D错误14(xx江苏高考)定义在区间0,3上的函数ysin2x的图象与ycosx的图象的交点个数是_答案7解析在同一平面直角坐标系中作出ysin2x与ycosx在区间0,3上的图象(如图)由图象可知,共有7个交点三、模拟小题15(xx江西六校联考)下列函数中,最小正周期是,且在区间,上是增函数的是()Aysin2x BysinxCytan Dycos2x答案D解析ysin2x在区间,上的单调性是先减后增;ysinx的最小正周期是T2;ytan的最小正周期是T2;ycos2x满足条件故选D16(xx安徽联考)已知函数y2cosx的定义域为,值域为a,b,则ba的值是()A2 B3 C2 D2答案B解析因为函数y2cosx的定义域为,所以函数y2cosx的值域为2,1,所以ba1(2)3,故选B17(xx福建六校联考)若函数f(x)2sin(x)对任意x都有fxf(x),则f()A2或0 B0C2或0 D2或2答案D解析由函数f(x)2sin(x)对任意x都有fxf(x),可知函数图象的一条对称轴为直线x根据三角函数的性质可知,当x时,函数取得最大值或最小值f2或2故选D18(2019河北衡水中学调研)已知函数f(x)2msinxncosx,直线x是函数f(x)图象的一条对称轴,则()A B C D答案C解析若x是函数f(x)图象的一条对称轴,则x是函数f(x)的极值点f(x)2mcosxnsinx,故f2mcosnsinmn0,所以故选C19(xx衡阳二模)已知函数f(x)则下列结论错误的是()Af(x)不是周期函数Bf(x)在,上是增函数Cf(x)的值域为1,)Df(x)的图象上存在不同的两点关于原点对称答案D解析画出f(x)的图象如下:由图可知,A,B,C正确;对于D,当0xsinx,当x时,1sinx1,而x1,所以xsinx,所以当x0时,ysinx与yx无交点,故f(x)的图象上不存在不同的两点关于原点对称,所以D错误故选D20(xx南昌一模)已知f(x)cos2xacosx在区间,上是增函数,则实数a的取值范围为()A2,) B(2,)C(,4) D(,4答案D解析f(x)cos2xacosx12sin2xasinx在,上是增函数,ysinx在,上单调递增,且sinx,1令tsinx,t,1,则y2t2at1在,1上单调递增,则1,因而a(,4故选D一、高考大题1(xx北京高考)已知函数f(x)sin2xsinxcosx(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间,m上的最大值为,求m的最小值解(1)f(x)cos2xsin2xsin2x所以f(x)的最小正周期为T(2)由(1)知f(x)sin2x由题意知xm所以2x2m要使f(x)在,m上的最大值为,即需sin2x在,m上的最大值为1所以2m,即m所以m的最小值为2(xx浙江高考)已知函数f(x)sin2xcos2x2sinxcosx(xR)(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)由sin,cos,f222,得f2(2)由cos2xcos2xsin2x与sin2x2sinxcosx得f(x)cos2xsin2x2sin2x所以f(x)的最小正周期是由正弦函数的性质得2k2x2k,kZ,解得kxk,kZ所以,f(x)的单调递增区间是k,k(kZ)3(xx天津高考)已知函数f(x)4tanxsincos(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为f(x)4tanxcosxcos4sinxcos4sinx2sinxcosx2sin2xsin2x(1cos2x)sin2xcos2x2sin所以,f(x)的最小正周期T(2)令z2x,易知函数y2sinz的单调递增区间是,kZ由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ设A,B,易知AB所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减二、模拟大题4(xx福建福州月考)已知函数f(x),求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域解由cos2x0得2xk,kZ,解得x,kZ,所以f(x)的定义域为因为f(x)的定义域关于原点对称,且f(x)f(x)所以f(x)是偶函数当x,kZ时,f(x)3cos2x1所以f(x)的值域为5(xx合肥质检)已知函数f(x)sinxcosx(0)的最小正周期为(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在0,上的单调性解(1)f(x)sinxcosxsinx,且T,2于是f(x)sin2x令2xk(kZ),得x(kZ),故函数f(x)的对称轴方程为x(kZ)(2)令2k2x2k(kZ),得函数f(x)的单调增区间为k,k(kZ)注意到x0,令k0,得函数f(x)在0,上的单调增区间为0,;其单调减区间为,6(xx武汉模拟)已知函数f(x)2sin2x2sinxcosx1(0),且函数f(x)的最小正周期为(1)求f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合解(1)f(x)2sin2x2sinxcosx11cos2xsin2x12sin2x由函数f(x)的最小正周期T,得1所以f(x)2sin2x令2k2x2k,其中kZ,解得kxk,其中kZ,即f(x)的单调递增区间为k,k,其中kZ(2)g(x)fx2sin2x2sin2x,则g(x)的最大值为2,此时有2sin2x2,即sin2x1,即2x2k,其中kZ,解得xk,其中kZ所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为xxk,其中kZ
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