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3.2.2函数模型的应用实例课后篇巩固提升基础巩固1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点解析由题图知甲所用时间短,甲先到达终点.答案D2.下列函数中,随着x的增长,函数值增长最快的是()A.y=50B.y=1 000xC.y=0.42x-1D.y=11 000ln x解析画出函数图象(图略),观察可知指数函数模型的函数值增长最快.答案C3.用长度为24 m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3 mB.4 mC.5 mD.6 m解析设隔墙长为x m,则矩形场地长为24-4x2=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,即当x=3 m时,矩形面积最大.答案A4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是()A.升高7.84%B.降低7.84%C.降低9.5%D.不增不减解析设该商品原价为a,四年后的价格为a(1+0.2)2(1-0.2)2=0.921 6a.(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即比原来降低7.84%.答案B5.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.解析Q=0.002 5v2-0.175v+4.27=0.002 5(v2-70v)+4.27=0.002 5(v-35)2-352+4.27=0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h时,耗油量最少.答案356.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg 20.30,lg 30.48).解析设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.根据题意,有0.3(1-25%)n0.2,则有nlg34=n(lg 3-2lg 2)lg 23=lg 2-lg 3,将已知数据代入,得n(0.48-0.60)0.30-0.48,n32,故至少要经过2小时才能开车.答案27.一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断:0时到3时只进水不出水;3时到4时不进水只出水;4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是.解析从0时到3时,2个进水口的进水量为9,故正确;由排水速度知正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故不正确.答案8.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R与管道半径r的四次方成正比.(1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量速率为400 cm3/s,求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量速率R的解析式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量速率.解(1)由题意,得R=kr4(k是大于0的常数).(2)由r=3 cm,R=400 cm3/s,得k34=400,解得k=40081,所以函数解析式为R=40081r4.(3)因为R=40081r4,所以当r=5 cm时,R=40081543 086(cm3/s),即该气体的流量速率约为3 086 cm3/s.9.如图所示,已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.解(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,则PQ=8-y,EQ=x-4.在EDF中,EQPQ=EFFD,x-48-y=42.y=-12x+10,定义域为4,8.(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x10-x2=-12(x-10)2+50.又x4,8,所以当x=8时,S取最大值48.所以当MP=8 m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48 m2.10.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=18t-a(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数:当0t0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0t0.1时,y=10t.当t0.1时,函数解析式为y=18t-a,而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=180.1-a,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t0.1时,y=18t-0.1.综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y=10t,0t0.1,18t-0.1,t0.1.(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t0.1,且y0.125=18.当t0.1时,由18t-0.118,得t-0.11,解得t1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.能力提升1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到()A.300只B.400只C.600只D.700只解析将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.答案A2.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+110x2,Q=a+xb,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有()A.a=45,b=-30B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45D.a=-45,b=-30解析设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则y=xQ-P=xa+xb-1 000+5x+110x2=1b-110x2+(a-5)x-1 000,其中x(0,+).由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40.-a-521b-110=150,a+150b=40,整理得a=35-300b,a=40-150b,解得a=45,b=-30.答案A3.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是()解析依题意,当0x1时,SAPM=121x=12x;当1x2时,SAPM=S梯形ABCM-SABP-SPCM=121+121-121(x-1)-1212(2-x)=-14x+34;当2x52时,SAPM=S梯形ABCM-S梯形ABCP=121+121-12(1+x-2)1=34-12x+12=-12x+54.y=f(x)=12x(0x1),-14x+34(1x2),-12x+5420,a1)与y=px12+q(p0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)分析(1)先判断两个函数y=kax(k0,a1),y=px12+q(p0)在(0,+)上的单调性,说明函数模型y=kax(k0,a1)适合要求,然后列出方程组,求解析式.(2)利用x=0时,y=323320=323,即元旦放入凤眼莲的面积是323 m2,列出不等式转化求解.解(1)两个函数y=kax(k0,a1),y=px12+q(p0)在(0,+)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k0,a1)的值增加的越来越快,而函数y=px12+q(p0)的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k0,a1)适合要求.由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,所以ka2=24,ka3=36,解得k=323,a=32,所以该函数模型的解析式是y=32332x(xN*).(2)x=0时,y=323320=323,所以元旦放入凤眼莲的面积是323 m2.由32332x10323,得32x10,所以xlog3210=lg10lg 32=1lg3-lg2.因为1lg3-lg210.477 1-0.301 05.7,所以x6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.
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