资源描述
6-1基本量及基本方程的矩阵表示6-2有限单元法的概念6-3单元的位移模式与解答的收敛性6-4单元的应变列阵和应力列阵6-5单元的结点力列阵与劲度列阵6-6荷载向结点移置单元的结点荷载列阵6-7结构的整体分析结点的平衡方程组6-8解题的具体步骤单元的划分6-9计算成果的整理6-10计算实例,第六章用有限单元法解平面问题,有限单元法工程应用实例1,头盔撞击试验仿真模型与结果,有限单元法工程应用实例2,高强钢板厚度10mm，材料考虑应变率影响和失效，不受任何约束。模拟受初始速度为120m/s和180m/s钢球的冲击过程。,穿甲试验仿真,初速度为120m/s,初速度为180m/s,有限单元法工程应用实例3,动画显示的是地基中心点的沉降随线性荷载的变化过程，云图显示莫尔库仑材料的塑性区形成和大变形塑性流动过程。,群桩复合地基承载力计算结果,6-1基本量及基本方程的矩阵表示,体力列阵：,面力列阵：,应力列阵：,应变列阵：,位移列阵：,物理方程：,称为弹性矩阵。,对于平面应变问题，只需将弹性矩阵D中的E、分别换成即可。,（平面应力问题）,则虚功方程可用矩阵表示为：,几何方程：,此外，用限单元法还要用到虚功方程：,现将虚位移及与该虚位移相应的虚应变表示为：,对连续变形体，它可以代替平衡微分方程和应力边界条件。,1、对连续体进行离散化。,6-2有限单元法的概念,有限单元法是用由有限多个、有限大小的单元在有限个结点相互连接的集合体来近似原来的连续体，当上述单元足够小从而划分网格足够密时，就可以真实地模拟原连续体。,有限单元法分析的基本步骤：,2、单元分析：,（1）选择适当的位移模式，用单元结点位移（为基本未知量）来表示单元内任一点的位移，即要建立如下关系式:,对于平面问题，最简单而常用的单元是三角形单元。在平面应力问题中，它们是三角板，在平面应变问题中，它们是三棱柱。,结点铰接点,de称为单元结点位移列阵。,（2）应用几何方程，求出单元的应变，即：,（3）应用物理方程，求出单元的应力，即：,其中S称为应力转换矩阵。,其中N称为形函数矩阵。,其中B称为应变转换矩阵。,（5）将作用在单元上的外荷载按虚功相等的原则，移置到单元各结点处，成为单元结点荷载：,（4）由于单元产生了应力，则在单元的边界及内部作用有与之平衡的面力和体力；现将其按虚功相等的原则移置到单元各个顶点处，作为结构其它部分通过结点对此单元的作用力，称单元结点力，再利用虚功方程，得：,即为单元结点力，k称为单元劲度矩阵。,对各结点进行平衡分析，列平衡方程并组集,得到整体结点平衡方程组：,其中K称整体劲度矩阵。,其中：,3、整体分析：,6-3单元的位移模式与解答的收敛性,对三结点三角形单元，假设位移分量只是坐标的线性函数，即：,由左边三个方程求解a1、a2、a3，右边三个方程求解a4、a5、a6。再代回u、v中，得,在i、j、m三个结点，位移应当等于结点位移，即：,一、位移模式：,其中，Ni、Nj、Nm称形函数，其表达式为,为单元ijm的面积。为使面积不致为负，在图示坐标系中ijm的次序须是逆时针的。,而,分别为系数行列式第一、二、三列各元素的代数余子式。,则单元内任一点的位移可用矩阵表示为：,为单元结点位移列阵。,为形函数矩阵。,其中：,简写为,二、形函数的几何意义及性质：,记三角形单元ijm内的任一点为P(x,y)，则知形函数的几何意义为：,由此几何意义容易看出形函数具有如下性质：,为了保证有限单元法解答的收敛性，必须使位移模式能够正确反映物体的真实位移形态，具体说来，就是要满足下列三方面的条件。,位移模式必须能反映单元的刚体位移。,位移模式必须能反映单元的常量应变。,位移模式应当尽可能反映位移的连续性。,在ij及im两边的中点，,在三角形ijm的形心，,三、解答的收敛性：,解答的收敛性是指：当单元的尺寸逐步取小时有限单元法的解答收敛于真实的解答。,注意：为必要条件，为充分条件。,6-4单元的应变列阵和应力列阵,其中B称应变转换矩阵，可写成,或简写为,将位移u、v代入几何方程，可得用结点位移表示的单元应变：,再将单元的应变代入物理方程，得到用结点位移表示的单元应力,其中：,可简写为：,称应力转换矩阵。,可写成分块形式,注意：由于矩阵B的元素都是常量，可见应变e的元素也是常量。因此三结点三角形单元也称为平面问题的常应变单元。,（平面应力）,注意：在每个单元中，应力分量也是常量。由于相邻单元一般将具有不同的应力，因而在它们的公共边上，应力并不连续。,6-5单元的结点力列阵和劲度矩阵,另一方面，由虚功方程有,由于单元产生了应力，则在单元的内部及边界作用有与之平衡的体力和面力；现将其按虚功相等的原则移置到单元各个顶点处，成为单元结点力：,设单元结点i、j、m发生了虚位移，即：,则有：,于是由以上两式，得,（t单元厚度）,则：,其中k称为单元劲度矩阵。,由于虚位移可以是任意的，再令：,代入上式：,注意到：,对三结点三角形单元ijm，k可写成分块形式：,（平面应力）,例：图示等腰直角三角形单元ijm。试写出单元的应力转换矩阵S和劲度矩阵k。,在图示坐标下,解：,下面求单元的劲度矩阵k：,单元劲度矩阵k元素的力学意义：,同理可求其它分块。最后得：,单元劲度矩阵k的特点：,注意到只有结点i上有位移，其它结点位移均为零，则有,例：上例中若j、m处为固定铰链支座，结点i处作用有水平力P和竖直力P，求单元位移分量u、v。,解：知：,其中：,由于：,即：,于是,所以,而由上例结果知：,解得,6-6荷载向结点移置单元的结点荷载列阵,本节将按虚功相等原则将单元所受实际荷载（集中荷载、体力、面力）向单元结点移置而成为单元结点荷载。,在一定位移模式下，这样移置的结果是唯一的，且原荷载与移置后的结点荷载在向同一点简化时，具有相同的主矢量和主矩。,一、集中荷载：,设在点M有集中力：,为单位厚度上力的大小。则可推得：,即：,（t为厚度）,二、分布体力：,设单元受有分布体力：,则可将微分体积tdxdy上的体力：,即：,当作集中荷载，利用以上结果并积分得到：,例：设单元ijm的密度为r，试求自重的等效结点荷载。,解：,由于,则,三、分布面力：,设单元某边上受有分布面力：,则可将微分面积tds上的面力：,即：,当作集中荷载，利用其结果并积分得到：,例：设单元在ij边上受有沿x方向的均布面力q，试求等效结点荷载。,结论：在采用线性位移模式的情况下，单元荷载向结点的移置与理论力学的刚体静力等效原则完全一致。,解：,由于,则,6-7结构的整体分析结点的平衡方程组,由前面的单元分析知，在有限单元法中，各个单元只受单元结点力Fe作用且处于平衡状态。本节则进一步说明如何进行结点平衡分析。,对于结构中的任一结点n，作用于其上的力有两种：一种是围绕结点n的单元对结点n的作用力Fn，这种力为单元结点力的反作用力；另一种是作用于结点n上的整体结点荷载FLn，包括从围绕结点n的单元上移置过来的单元结点荷载，以及本来就作用于结点n上的集中荷载或支反力。,则结点n的平衡方程为：,其中是对围绕结点n的单元求和。,再代入单元结点力与单元结点位移的关系：,并将同一结点位移的项合并，可得：,(q为结点总数),称为整体结点位移列阵,称为整体结点荷载列阵,K为整体劲度矩阵，它是由单元劲度矩阵按结点的局部编码（i,j,m）与整体编码的对应关系组集而成的。,结构整体分析的步骤：,1、组集整体劲度矩阵K；,3、引入位移约束条件；,4、求解整体结点平衡方程组Kd=FL，得结点位移d；,5、求各单元的位移、应力。,将所有结点的平衡方程按结点整体编码组集，得整体结点平衡方程组：,其中：,2、组集整体结点荷载列阵FL；,如图正方形薄板划分为两个单元，厚度为t，密度为r，弹性模量为E，取泊松比m=0，各单元直角边长为a,结点的局部编码与整体编码的对应关系如下：,要求各结点的位移和各单元的应力。,下面用实例说明以上求解过程。,一、组集整体劲度矩阵K,整体劲度矩阵K以整体编码排列，而单元劲度矩阵ke以局部编码排列，故要把单元劲度矩阵的各子矩阵按对应的整体编码集成。,组集整体劲度矩阵K的方法为：,将K的全部元素充零；,逐个单元地建立ke，然后按单元e中局部编码与整体编码的对应关系，,对所有单元完成上述叠加后，就形成了整体劲度矩阵K。,整体劲度矩阵K的特点：,对称,对角线元素0,奇异。,二、组集整体结点荷载列阵FL,结点n上的整体结点荷载FLn，包括从围绕结点n的单元上移置过来的单元结点荷载，以及本来就作用于结点n上的集中荷载或支反力。,各单元的结点荷载列阵为：,本来就作用于各结点上的集中荷载或支反力为：,组集关系为：,最后得结构的整体结点荷载列阵为：,三、引入位移约束条件,结构的位移约束（即已知的结点位移分量）为：,于是，整体结点位移列阵简化为,引入位移约束的方法为：,（1）将与已知的结点位移分量相应的平衡方程去掉，从而去掉了FL中的未知支反力。,本例中即划去K、FL中的第1、2、3、5、6、8行。,（2）将零结点位移分量代入其余的平衡方程，从而去掉了d中的已知结点位移分量。,本例中即划去K中的第1、2、3、5、6、8列和d中的零结点位移分量。,整体结点荷载列阵简化为：,（为何不可立即求解方程组Kd=FL？）,整体劲度矩阵简化为：,最后得：,可见引入位移约束条件后，K仍为对称矩阵，但却是非奇异的。,四、求解整体结点平衡方程组Kd=FL，得结点位移d,解得,五、求各单元应力,问题：如何求支座的约束反力？,列出结构的整体结点平衡方程组Kd=FL，引入位移约束，解出未知的结点位移分量d，并进一步求得结构的应力。,6-8解题的具体步骤单元的划分,应用有限单元法解题的步骤：,将计算对象划分成许多三角形单元，并按一定规律将所有的结点和单元分别编上号码；,选定一个直角坐标系，进行单元分析，得到各单元的单元劲度矩阵ke和结点荷载列阵FLe；,(3)进行整体分析，组集整体劲度矩阵K和整体结点荷载列阵FL。,
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