线性方程组的一般形式与直接法思想.ppt

第二章解线性方程组的直接法,数值分析,2.1线性方程组的一般形式与直接法思想,2.1线性方程组的直接法,实际问题中的线性方程组分类：,按系数矩阵中零元素的个数：,稠密线性方程组,稀疏线性方程组,按未知量的个数：,高阶线性方程组,低阶线性方程组,(如1000),(80%),按系数矩阵的形状,对称正定方程组,三角形方程组,三对角占优方程组,一、直接法概述,直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形方程组的方法，共有若干种,对于线性方程组,其中,系数矩阵,未知量向量,常数项,-(1),根据Cramer(克莱姆)法则,若,（1）需要计算n+1个n阶行列式并做n次除法运算；,（2）每个n阶行列式需要做n！次乘法运算；（若采用行列式展开计算）,（3）对于较大的n，计算量大到一般计算机难以接受；另外累积误差也将不能接受；,需要寻找其他实际求解的办法，这就是数值解法。,若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:,n-1次,同解,即,以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法,则,都是三角形方程组,上述方法称为直接三角形分解法,-(2),不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法,都归结为解三角形方程组.,二、三角形线性方程组的解法,若记,下三角形线性方程组,上三角形线性方程组,即,其解为,其解为:,三角形方程组的解有显示的计算公式（精确解）Gauss消去法和直接三角矩阵分解法都属于直接法.所谓直接法就是直接通过方程组的已知数据，用有限步的算式运算公式，求出方程组的精确解（由于计算机的介入，存在舍入误差，实际得到的还是近似解，即数值解.）,