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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,19.4,综合与实践：多边形的镶嵌,大顾店中学数学备课组,主备人：邹军 李青松 何玉柱,学习目标,1,、了解平面图形镶嵌的含义，掌握一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计。,2,、经历探索多边形镶嵌的过程。,3,、体会平面图形在现实生活中的广泛应用。,预学检测,1,、本节课主要学习那些内容？,2,、你认为本节课的重点内容是什么？,3,、你对哪些内容有疑问？,这些图形拼成一个平面图案的共同特征是什么,？,平面镶嵌,:,用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间,既无缝隙又不重叠,地,全部覆盖,，在几何里面叫做平面镶嵌。,拼一拼 选一选,小明家装修地板,在正三角形,正方形,正五边形,正六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以供他选择,?,6,60,0,90,0,108,0,120,0,4,3,3,4,能镶嵌,能镶嵌,不能镶嵌,有空隙,能镶嵌,60 6=360,0,0,90 4=360,0,0,1083360,108 4,360,0,0,120 3=360,0,0,不能镶嵌,有重叠,实 验 结 果,正,n,边形,拼图,每个内角度数,多边形个数,结果,n=3,n=4,n=5,n=6,规律,:,当正多边形的一个内角,度数的整数倍是,360,时，,这种正多边形就能镶嵌,.,思考,:,仅限于同一种正多边形镶嵌,还能找到能镶嵌的其他正多边形吗,?,假设正多边形的边数为,n,由,K,个正多边形恰好,可以镶嵌时,则这些铺在一个顶点处的,K,个正多边形的,K,个内角和应等于,而正,n,边形的每个内角的度数为,所以,可得方程,整理,得,K(n-2)=2n,所以,因为,K,n,为正整数,故,n,只能等于,3,、,4,、,6.,360,这说明只用一种正多边形镶嵌,正多边形只有三种选择,:,正三角形,正方形和正六边形,.,问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地板镶嵌吗？那么任意四边形能不能呢？,任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌,但若想实现连续铺设，还应将相等的边重合在一起。,结论,想一想,如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌,你又会选择哪两种呢,?,解：设每个顶点周围有x个正三角形,和y个正四边形,则,:,60 x+90 y=360,即,:,2x+3y=12,又,x,、,y,是正整数,解得,:x=3,y=2.,即每个顶点处用正三角形的三个,内角,正方形的两个内角进行拼接,.,正三角形和正方形的平面镶嵌,正多边形,拼 图,正三角形和,正六边形,m,60+n120=360,2,60+2120=360,4,60+1120=360,解：设每个顶点周围有m个正三角形和n个正六边形,60,m+120,n=360,即,:m+2n=6,，又,m,、,n,是正整数,解得,:,即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形,或者用两个正三角形和两个正六边形,.,更多的两种正多边形的镶嵌,正十二边形与正三角形的平面镶嵌,正八边形与正方形的平面镶嵌,正十边形与正五边形的平面镶嵌,两种正多边形拼接在同一点,的各个角的和恰好等于,360,这,两种正多边形就能镶嵌,.,结论,你能用三种边长相等的正多边形设计,一个图案吗？试试吧,!,请你来当设计师,三种正多边形的平面镶嵌,正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌,正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌,如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌，要求：在每个顶点处，每种正多边形只能有一个。那么边数满足什么条件？,解：设正多边形的边数分别为,m,、,n,、,t,m,(m,2)180,n,(n,2)180,t,(t,2)180,+=360,3 2,（,+,）,=2,m,1,t,1,n,1,m,1,+=,n,1,t,1,2,1,如果用三种不同的正多边形镶嵌，并且每一顶点处一种多边形,只有一个，那么三种正多边形的边数应满足什么条件？,1,、平面镶嵌的定义,.,2,、正多边形平面镶嵌的条件,.,3,、关注身边的数学,关注数学中的美,.,小结,镶嵌图片欣赏：,镶嵌图片欣赏：,镶嵌图片欣赏：,镶嵌图片欣赏：,镶嵌之父,M.C.,埃舍尔是荷兰的,现代版画艺术家、,“,图形艺术家,”,，,他是一个将艺术与数学融合的画家，,着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊称他为,“,镶嵌之父,”,。,。,埃舍尔的作品,欣 赏,生活中，墙面上贴的瓷砖一般都是长方形的，用长方形（矩形）进行镶嵌设计，怎样设计图案最漂亮？,错位镶嵌,资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这,17,组解。有书记载说明这,17,组解是,1924,年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。,资料,1,：石子路镶嵌图案最多的园林,在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有,900,幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的园林了。这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。,资料,2,：镶嵌画历史悠久，最早见于公元前,4000,余年的美索不达米亚，苏美尔人是这种艺术的始祖。镶嵌画以其色彩的真实性和永久性，制作的多样性以及题材的广泛性而得以在世界上绵延流传。公元,1,4,世纪，镶嵌画得到很大的发展，色彩技巧日臻完善，当时罗马人对它十分推崇。在美术史上，罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌画无论在数量上或质量上都名列前茅。如意大利庞培城出土的,伊苏之战,、拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中的佐伊皇帝像等许多镶嵌画，都是这个时期的艺术珍品，在历史上产生过深远的影响。随着罗马人的足迹，镶嵌画传入其他地方，各国艺术家都以各自的民族风格，发展了这一艺术。镶嵌画在现代世界艺术中日益占有重要地位。墨西哥、苏联和民主德国等国家的镶嵌画以其规模的宏大和新颖的技艺而著称。,资料,3,：镶嵌画材料来源十分丰富，有天然彩石、卵石、贝壳、螺钿、宝石、玉石和人造的玻璃料器、陶瓷、有机玻璃、金属和木料等。镶嵌方法有直接镶嵌法、预制法、反贴反上法、正贴正上法。除平面镶嵌外，也可以在浮雕上进行镶嵌，后者更能增强壁画的力度。,中国的镶嵌艺术具有悠久的历史和独特的风格。这些镶嵌艺术大多出现在工艺品上，如殷商时代的铜器曾有错金和错金嵌玉的装饰纹样出现。镶嵌画虽较少，仍可以从帝王御花园的甬道和民间的建筑中发现用卵石镶嵌地面和墙面的镶嵌装饰画面。当代中国艺术家也开始重视运用这种艺术形式，在一些重要建筑物的室内外创作了一些镶嵌画。,随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足；越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里，看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里为他们竖起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力生活中很多时候，我们遇到一些复杂的情况，会很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境脱离出来，从一个新角度去解决问题，也许就会柳暗花明。一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法：每次出门前把WiFi修改成无密码，然后放心出门每次回来都能看到十几个人捧着手机蹲在自家门口，从此无忧。护院，未必一定要养狗换个角度想问题，结果大不同。一位大爷到菜市场买菜，挑了3个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块7。”大爷：“做汤不用那么多。”去掉了最大的西红柿。摊主:“一斤二两，3块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时，大爷从容的掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那个大的西红柿，潇洒地换种算法，独辟蹊径，你会发现解决问题的另一个方法。生活中，我们特别容易陷入非A即B的思维死角，但其实，遭遇两难困境时换个角度思考，也许就会明白：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费100块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓到的就送一只鸡。很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！觉得老板很够意思。后来，钓鱼场看门大爷告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去库存，还让顾客心甘情愿买单。新时代，做营销，必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵机一动说：儿子，我来做作业，你来检查如何？孩子高兴的答应了，并且把爸爸的“作业”认真的检查了一遍，还列出算式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙转换角色，后退一步，有时候是另一种前进。一个博士群里有人提问：一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸死？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足讨论了近一个小时 后来，一个不小心进错群的人默默问了一句：你们没有淋过雨吗 人们常常容易被日常思维所禁锢，而忘却了最简单也是最直接的路有两个年轻人，大学毕业后一起到广州闯天下。,
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