第九讲 相关与回归

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,相关与回归,*,相关与回归,相关与回归,1,医学上，许多现象之间也都有相互联系，例如：身高与体重、体温与脉搏、产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也各不相同。这里，体温和脉搏的关系就比产前检查与婴儿体重之间的关系密切得多，而体重和身高的关系则介与二者之间。另外，可以说乙肝病毒感染是前因，得了乙肝是后果，乙肝病毒和乙肝之间是因果关系；但是，有的现象之间因果不清，只是伴随关系，例如丈夫的身高和妻子的身高之间，就不能说有因果关系。,相关与回归就是用于研究和解释两个变量之间相互关系的。,相关与回归,2,直线相关,Linear Correlation,相关与回归,3,散点图,为了确定相关变量之间的关系，首先应该收集一些数据，这些数据应该是成对的。例如，每人的身高和体重。然后在直角坐标系上描述这些点，这一组点集称为散点图。,相关与回归,4,为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔,.皮尔逊测量了1078对父子的身高。把1078对数字表示在坐标上，如图。用水平轴,X,上的数代表父亲身高，垂直轴,Y,上的数代表儿子的身高，1078个点所形成的图形是一个散点图。它的形状象一块橄榄状的云，中间的点密集，边沿的点稀少，其主要部分是一个椭圆。,相关与回归,5,相关的类型,正相关,负相关,完全正相关,完全负相关,称零相关,相关与回归,6,相关系数,样本的相关系数,用,r(correlation coefficient),相关系数,r,的值在,-1,和,1,之间，但可以是此范围内的任何值。正相关时，,r,值在,0,和,1,之间，散点云图是斜向上的，这时一个变量增加，另一个变量也增加；负相关时，,r,值在,-1,和,0,之间，散点云图是斜向下的，此时一个变量增加，另一个变量将减少。,r,的绝对值越接近,1,，两变量的关联程度越强，,r,的绝对值越接近,0,，两变量的关联程度越弱。,相关与回归,7,相关系数的计算公式,r,的计算结果说明了两个变量,X,与,Y,之间关联的密切程度（绝对值大小）与关联的性质（正负号）。,相关与回归,8,例 一,一个产科医师发现孕妇尿中,雌三醇,含量与产儿的,体重,有关。于是设想，通过测量待产妇尿中雌三醇含量，可以预测产儿体重，以便对低出生体重进行预防。因此收集了31例待产妇24小时的尿，测量其中的雌三醇含量，同时记录产儿的体重。问尿中雌三醇含量与产儿体重之间,相关系数,是多少？是正相关还是负相关？,分析问题：目的、变量、关系,相关与回归,9,编号,（1）,尿雌三醇,mg/24h（2,产儿体重,kg（3）,编号,（1）,尿雌三醇,mg/24h（2）,产儿体重,kg（3）,1,7,2.5,17,17,3.2,2,9,2.5,18,25,3.2,3,9,2.5,19,27,3.4,4,12,2.7,20,15,3.4,5,14,2.7,21,15,3.4,6,16,2.7,22,15,3.5,7,16,2.4,23,16,3.5,8,14,3.0,24,19,3.4,9,16,3.0,25,18,3.5,10,16,3.1,26,17,3.6,11,17,3.0,27,18,3.7,12,19,3.1,28,20,3.8,13,21,3.0,29,22,4.0,14,24,2.8,30,25,3.9,15,15,3.2,31,24,4.3,16,16,3.2,待产妇尿雌三醇含量与产儿体重关系,10,X=534,Y=99.2,X,2,=9876,Y,2,=324.8,XY=1750,N=31,相关与回归,11,计算结果,从计算结果可以知道，,31,例待产妇尿中雌三醇含量与产儿体重之间程正相关，相关系数是,0.61,。,相关与回归,12,问题：我们能否得出结论说明,待产妇尿中雌三醇含量与产儿体重之间程正相关，相关系数是,0.61,。为什么？,相关与回归,13,相关系数的假设检验,上例中的相关系数,r,等于,0.61,，说明了,31,例样本中雌三醇含量与出生体重之间存在相关关系。但是，这,31,例只是,总体,中的,一个样本,，由此得到的相关系数会存在抽样误差。因为，总体相关系数,（,）,为零时，由于抽样误差，从总体抽出的,31,例，其,r,可能不等于零。所以，要判断该样本的,r,是否有意义，需与总体相关系数,=0,进行比较，看两者的差别有无统计学意义。这就要对,r,进行假设检验，判断,r,不等于零是由于抽样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。,相关与回归,14,对相关系数的假设检验，常用,t,检验，选用统计量,t,的计算公式如下：,=n-2,相关与回归,15,H,0,：,=0,H,1,：,0,=0.05,r=0.61,n=31,代入公式,t=,=n-2=31-2=29,t=4.14,查,t,值表，,t,0.05(29),=2.045,查,t,值表，,t,0.05(29),=,2.756,上述计算,t=4.142.045,，,由,t,所推断的,P,值小于,0.05,，按,=0.05,水准拒绝,，接受,认为临产妇,24,小时内尿中雌三醇浓度与产儿体重之间有正相关关系。,相关与回归,16,直线相关的应用,前面我们已经讲过，相关是研究两个变量间的相互关系，而且这种相互关系是用相关系数反应的。在确实存在相关关系的前提下，如果,r,的绝对值越大，说明两个变量之间的关联程度越强，那么，已知一个变量对预测另一个变量越有帮助；如果,r,绝对值越小，则说明两个变量之间的关系越弱，一个变量的信息对猜测另一个变量的值无多大帮助。,一般说来，当样本量较大（,n100,），并对,r,进行假设检验，有统计学意义时，,r,的绝对值大于,0.7,，则表示两个变量高度相关；,r,的绝对值大于,0.4,，小于等于,0.7,时，则表示两个变量之间中度相关；,r,的绝对值大于,0.2,，小于等于,0.4,时，则两个变量低度相关。,相关与回归,17,前面我们讨论了待产妇尿中雌三醇含量和产儿体重之间的关系，知道了二者之间成正相关。那么，如果我们知道了一位待产妇的尿雌三醇含量，能推断出产儿的体重吗？,或产儿的体重可能在什么范围内呢？,还有，随着身高的增加，体重也在增大，它们之间也成正相关关系。那么，身高每增加1厘米，体重增加多少克呢？上面的相关关系分析不能提供给我们需要的答案。这些要用直线回归的方法来解决。,相关与回归,18,直线回归,Simple Regression,相关与回归,19,当我们知道了两个变量之间有直线相关关系，并且一个变量的变化会引起另一个变量的变化，这时，如果它们之间存在准确、严格的关系，它们的变化可用函数方程来表示，叫它们是函数关系，它们之间的关系式叫函数方程。但在实际生活当中，由于其它因素的干扰，许多双变量之间的关系并不是严格的函数关系，不能用函数方程反映，为了区别于两变量间的函数方程，我们称这种关系式为,直线回归方程,，这种关系为直线回归.,相关与回归,20,直线回归就是用来描述一个变量如何,依赖于,另一个变量,相关与回归,21,回归方程,直线回归的任务就是要找出一个变量随另一个变量变化的直线方程，我们把这个直线方程叫做直线回归方程,。,式中的,是由自变量,X,推算应变量,Y,的估计值，,a,是回归直线在,Y,轴上的截距，即,X=0,时的,Y,值；,b,为样本的回归系数，即回归直线的斜率，表示当,X,变动一个单位时，,Y,平均变动,b,个单位。如果,a,、,b,已知，代入上式，就可求得直线回归方程。,相关与回归,22,回归系数,根据上例的数据，求,待产妇尿中雌三醇含量与产儿体重之间的回归方程。,从相关系数的计算中，已经求得,：,相关与回归,23,这就是我们求得的二者关系的回归方程,相关与回归,24,回归直线的描绘,根据求得的回归方程，可以在自变量,X,的实测范围内任取两个值，代入方程中，求得相应的两个,Y,值，以这两对数据找出对应的两个坐标点，将两点连接为一条直线，就是该方程的回归直线。回归直线一定经过（,0,，,a,），（）。,这两点可以用来核对图线绘制是否正确。,相关与回归,25,相关与回归,26,与直线相关一样，直线回归方程也是从样本资料计算而得的，同样也存在着抽样误差问题。所以，需要对样本的回归系数,b,进行假设检验，以判断,b,是否从回归系数为零的总体中抽得。,为了判断抽样误差的影响，需对回归系数进行假设检验。总体的回归系数一般用,表示。,相关与回归,27,=2.15+0.061X,是否一定能说明雌三醇与产儿体重之间存在回归关系？,相关与回归,28,1.,方差分析,F=MS,组间,/MS,组内,2.t,检验,回归系数的假设检验,H,0,：=0,H,1,：0,=0.05,选择合适的假设检验方法，计算统计量,计算概率值,P,做出推论：统计学结论和专业结论,相关与回归,29,采用,t,检验方法,其中,S,y.x,为各观察值,Y,到回归直线的距离的标准差，表示去除,X,影响后,Y,的变异程度,，,相关与回归,30,自由度,=31-2=29,，查,t,值表，,t,0.05(29),=2.045,P0.05,按,=0.05,检验水准，拒绝,H,0,，,认为待产妇,24,小时尿中雌三醇含量与产儿体重之间存在直线回归关系。,相关与回归,31,直线回归的应用,描述两变量之间的依存关系：,通过回归系数的假设检验,若认为两变量之间存在直线回归关系,则可用直线回归来描述。例如上例回归方程：,就是待产妇尿雌三醇含量与产儿出生体重的定量表达式。,利用回归方程进行预测,：把自变量代入回归方程，对应变量进行估计，可求出应变量的波动范围。例如，已知某待产妇的尿雌三醇浓度，代入回归方程，再用区间估计的方法，即可知道生产时，产儿的体重的范围。,利用回归方程进行统计控制,利用多元回归描述多因素的影响,相关与回归,32,应用直线相关与回归的注意事项,1.,实际意义,进行相关回归分析要有实际意义，不可把毫无关系的两个事物或现象用来作相关回归分析。例如，有人说，孩子长，公园里的小树也在长。求孩子和小树之间的相关关系就毫无意义，用孩子的身高推测小树的高度则更加慌谬。,2.,相关关系,相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，并不能证明事物间有内在联系，例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读技能有很强的相关关系。然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素,年龄。当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大也穿不下原来的鞋。,相关与回归,33,3.,利用散点图,对于性质不明确的两组数据，可先做散点图，在图上看它们有无关系、关系的密切程度、是正相关还是负相关，然后再进行相关回归分析。,4.,变量范围,相关分析和回归方程仅适用于样本的原始数据范围之内，出了这个范围，我们不能得出两变量的相关关系和原来的回归关系。,相关与回归,34,相关与回归的区别,1.,意义：,相关反映两变量的相互关系，即在两个变量中，任何一个的变化都会引起另一个的变化，是一种双向变化的关系。回归是反映两个变量的依存关系，一个变量的改变会引起另一个变量的变化，是一种单向的关系。,2.,应用：,研究两个变量的相互关系用相关分析。研究两个变量的依存关系用回归分析。,3.,研究性质：,相关是对两个变量之间的关系进行描述，看两个变量是否有关，关系是否密切，关系的性质是什么，是正相关还是负相关。回归是对两个变量做定量描述，研究两个变量的数量关系，已知一个变量值可以预测出另一个变量值，可以得到定量结果。,4.,相关系数,r,与回归系数,b,：,r,与,b,的绝对值反映的意义不同。,r,的绝对值越大，散点图中的点越趋向于一条直线，表明两变量的关系越密切，相关程度越高。,b,的绝对值越大，回归直线越陡，说明当,X,变化一个单位时，,Y,的平均变化就越大。反之也是一样。,相关与回归,35,相关与回归的联系,关系：,能进行回归分析的变量之间存在相关关系。所以，对于两组新数据（两个变量