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3.8圆内接正多边形预习案一、预习目标及范围:1.了解正多边形和圆的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,会应用多边形和圆的有关知识画多边形预习范围:P99-100二、预习要点1.正多边形概念:各边相等、各角也相等的多边形叫做 如果一个正多边形有n(n3)条边,就叫 边形等边三角形有三条边叫正三角形,正方形有四条边叫正四边形2.圆内接正多边形的概念:顶点都在同一个圆上的正多边形叫做 。这个圆叫做该正多边形的 .3.把一个圆等分(),依次连接各分点,我们就可以作出一个 .4.如图,五边形是圆的内接正五边形,圆心叫做这个正五边形的 ;是这个正五边形的 ;是这个正五边形的 ;,垂足为,是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义. 三、预习检测分别求出半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积.探究案一、合作探究活动内容1:探究1:正多边形正多边形:_,_的多边形叫做正多边形.正n边形:如果一个正多边形有n条边,那么这个正多边形叫做正n边形.【想一想】菱形是正多边形吗?矩形是正多边形吗?为什么?求证:正五边形的对角线相等怎样找圆的内接正三角形?怎样找圆的外切正三角形? 怎样找圆的内接正方形?怎样找圆的外切正方形?怎样找圆的内接正n边形?怎样找圆的外切正n边形?【定理】把圆分成n(n3)等份:依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆?【类比联想】正三角形:有没有外接圆和内切圆?怎样作出这两个圆?这两个圆有什么位置关系?正方形:有没有外接圆和内切圆?怎样作出这两个圆?这两个圆有什么位置关系?那么,正n边形呢?探究2:正多边形是轴对称图形,正n边形有n条对称轴.若n为偶数,则其为中心对称图形. 活动2:探究归纳【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆.正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:外接圆的半径正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角.正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离.以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。活动内容2:典例精析【例1】把圆分成5等份,求证:依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形;经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.证明:(1)弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA,AB=BC=CD=DE=EA,BCE=CDA=3AB,1=2,同理2=3=4=5,又顶点A,B,C,D,E都在O上,五边形ABCDE是O的内接正五边形.(2)连接OA,OB,OC,则OAB=OBA=OBC=OCB.TP,PQ,QR分别是以A,B,C为切点的O的切线,OAP=OBP=OBQ=OCQ.PAB=PBA=QBC=QCB.又AB=BC,AB=BC,PAB与QBC是全等的等腰三角形.P=Q,PQ=2PA.同理Q=R=S=T, QR=RS=ST=TP=2PA,五边形PQRST的各边都与O相切,五边形PQRST是O的外切正五边形. 【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).【解析】如图,正六边形ABCDEF的中心角为60,OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长在RtOPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积二、随堂检测1.下列图形中:正五边形;等腰三角形;正八边形;正2n(n为自然数)边形;任意的平行四边形.是轴对称图形的有_,是中心对称图形的有_,既是中心对称图形,又是轴对称图形的有_.2.两个正七边形的边心距之比为3:4,则它们的边长比为_,面积比为_,外接圆周长比是_,中心角度数比是_.3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_4.正方形ABCD的内切圆O的半径OE叫做正方形ABCD的_5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是_度,半径是_,边心距是 ,它的每一个内角是_6.正n边形的一个外角度数与它的_角的度数相等7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 度,才能与原来的图形位置重合.参考答案预习检测:【解析】作等边ABC的BC边上的高AD,垂足为D连接OB,则OB=R,在RtOBD中,OBD=30,边心距OD=在RtABD中,BAD=30,AB=SABC=连接OB,OC 作OEBC,垂足为E,OEB=90, OBE=BOE=45,RtOBE为等腰直角三角形,随堂检测1. ;2. 3:4;9:16;3:4;1:13. 中心4. 边心距5.;16. 中心7. 72
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