2019-2020年九年级数学上册 第2章 命题与证明 第2章综合 名师教案 湘教版.doc

2019-2020年九年级数学上册 第2章 命题与证明 第2章综合 名师教案 湘教版【教学目标】 1. 了解命题的概念，知道什么是命题，真命题、假命题、逆命题，能区分命题的题设和结论，会把一个命题写成“如果，那么”的形式。 2. 了解定义、公理、定理的概念以及公理与定理的区别，能举例将所学过的定理、公理进行说明，能较准确地表达学过的定义、定理等。 3. 了解证明的必要性、公理的方法，综合证明的格式，理解推理中要步步有据，会根据题意画出图形，写出已知、求证，并完成一个简单命题的证明。 4. 通过举反例判定一个命题是假命题，能掌握用反证法证明的思想方法。二. 重点、难点： 1. 教学重点： 理解证明的必要性；了解定义、命题的概念并会判断真假命题，理解本节所给出的公理及相关定理。 2. 教学难点： 对证明的逻辑推理过程要熟练掌握，并能较严密地写出证明过程。 3. 思想方法： 经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力；分析、解决问题时强调转化的思想、化难为易、转化的方式有代换转化，已知与未知的转化、特殊与一般的转化等。三. 主要内容：（一）本章知识结构图 （二）基本内容 1. 理解推理证明的必要性 2. 定义： 对一个概念的特征本质的描述，称为它的定义。 3. 命题： （1）定义：判断一件事情的句子，叫做命题。 （2）结构：每个命题都由条件和结论两部分组成。 命题一般可以写作“如果，那么”或“若，则”的形式。 （3）分类：命题包括真命题和假命题两类。 4. 公理、定理、证明： 人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，称为公理。 通过推理论证、判断其为真命题，称为定理。 推理的过程叫做证明。 5. 命题与逆命题： 两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。 其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 任何一个命题都有其逆命题，但一个真命题的逆命题不一定是真命题，所以，不是所有的定理都有其逆定理。 6. 证明的一般步骤： （1）弄清题意，能正确画出图形。 （2）根据题意和图形，写出“已知”和“求证”。 （3）条理清晰地写出证明过程。 （4）检查表达过程是否正确、完善。【典型例题】 例1. 请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题。 （1）直角都相等。 （2）如果两个数中有一个数是正数，那么这两个数之和是正数。 （3）对角相等的平行四边形是矩形。 分析：写逆命题应先弄清命题的条件和结论。 解：（1）相等的角是直角。（假命题） （2）如果两个数之和是正数，那么两个数中有一个数是正数。（真命题） （3）矩形是对角相等的平行四边形。（假命题） 说明：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 例2. 有一次四人游泳比赛，比赛前，四名选手A、B、C、D进行预测性会谈，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最末名”，C说：“我不可能是第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最末的！”。经过比赛成绩揭晓，发现他们之中只有一位预测错误，请指出是哪一位选手？ 分析：我们先将四人谈话内容列出表格，再来讨论。 解：从表中可看出D没有估计错误。 如果D预测错误，那么自然另有一个选手预测错了，否则就不会出现最末名；如果C预测错误，则他在这次比赛中应得第一名或第四名，但在此情况下，第一名和第四名已分别由A和D占据；如果B预测错误，则他只能是第四名，这里D也成了预测者，但按条件，预测错误的只有一人。 因此预测错误的只能是A，他应是第二名或第三名。 这样，名次可能是： （1）第一名：B，第二名：A，第三名：C，第四名：D； （2）第一名：B，第二名：C，第三名：A，第四名：D。 这类题型主要是训练同学们的逻辑推理能力，让同学们看到逻辑推理在解决问题的价值，同时体验到用逻辑思维方法成功的快乐。 例3. 有一矩形钢板ABNM，现加工成零件形状，如图，按规定ADE、BCE应分别是45和55，检验工人量得DEC95，就非常肯定地判定这个零件不合格，你能说明这是为什么吗？ 分析：这也是一道训练逻辑思维的题目，零件是否合格、取决于角度之间是否相等。 即若ADEBCEDEC，则零件合格，否则零件不合格。 解：过E作EFAD ADEFED 又AMBN，EFBC FECECB 现量得DEC95 这个零件不合格 例4. 如图，已知ABCD，EF交CD于H，交AB于I，EGAB，垂足为G，若GHE125，求FEG的度数。 分析：略 解：ABCD，CHE125（已知） AIECHE120 又EGAB（已知） EGI90（垂直定义） 又AIE是EIG的一个外角 AIEFEGEGI 例5. 证明：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形。 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，对角线ACBD。 求证：四边形EFGH是矩形。 分析：要证四边形EFGH是矩形，先需证明它是平行四边形。 由于E、F、G、H分别是各边中点。 由三角形中位线定理易证EFGH是平行四边形，再根据ACBD去证明EFGH中有一个角为直角即可。 证明：E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点（已知） 四边形EFGH是平行四边形 又ACBD，EFAC 190 又EHBD（三角形中位线定理） 21180 即290 四边形EFGH是矩形 例6. 先阅读第（1）问的题目及证明过程，然后完成（2）问的问题。 （1）如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABADBC，E为CD中点。 求证：AEBE 证明：过点E作EFBC交AB于F E是CD的中点 F是AB的中点 EF是梯形ABCD的中位线 （2）在第（1）题的证明过程中，第_步（填写（1）题中证明步骤中的序号），我们用到了定理：“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。” 现在请你证明这个定理（要求写出已知、求证和证明）。 解：本题（1）中第步的理由是定理“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”，证明如下： 求证：ACB是直角三角形。 分析：略 证明：CD是AB边上的中线 即ACB90 ACB是直角三角形 说明：这类阅读理解题近年来越来越常见，主要考查同学们阅读理解和自学能力，希望同学们加强这方面的训练。