2019-2020年高考数学大一轮复习 第七章 第39课 等差数列要点导学.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 第七章 第39课 等差数列要点导学等差数列的基本量运算例1已知等差数列an中,a1=1,a3=-3.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an的前k项和Sk=-35,求k的值.思维引导(1)由等差数列的通项公式可写出数列an的通项公式;(2)先根据等差数列的前n项和公式Sn=求出其前k项和,再由Sk=-35得到关于k的方程,解此方程可得k值,注意kN*.解答(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n-1)(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n,所以Sn=2n-n2.由Sk=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又kN*,故k=7.精要点评本题还可以用两点式求直线方程的方法求an.设an=an+b,把a1=1,a3=-3分别代入求出a=-2,b=3,得到an=3-2n.例2已知等差数列an中的前三项和为12,且2a1,a2,a3+1依次成等比数列,求数列an的公差.思维引导求得a2的值,设公差d,构造关于d的方程,然后求之.解答设等差数列an的公差为d,由数列an的前3项和为12,得3a2=12,所以a2=4.因为2a1,a2,a3+1成等比数列,所以2a1(a3+1)=,即2(a2-d)(a2+d+1)=,即d2+d-12=0,解得d=-4或3.精要点评在等差数列的运算中,常用的有五个基本量,它们是a1,d,n,an,Sn.掌握这五个基本量之间的各种关系,结合熟练的运算,即可解决等差数列的常见问题.【题组强化重点突破】1. 在等差数列an中,a2=1,a4=5,则数列an的前5项和S5=.答案15解析因为a2=1,a4=5,所以a1+a5=a2+a4=6,所以数列an的前5项和S5=6=15.2.(xx福建卷)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6=.答案12解析设等差数列an的公差为d,由题意得S3=3a1+3d=6+3d=12,所以d=2,a6=a1+5d=12.3.若在公差不为0的等差数列an中,a3=10,a3,a7,a10成等比数列,则公差d=.答案-解析因为a3,a7,a10成等比数列,所以=a3a10.又因为a3=10,公差为d,所以(a3+4d)2=a3(a3+7d),即(10+4d)2=10(10+7d),即8d2+5d=0,所以d=-或d=0(舍去).4. 已知等差数列an中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列bn的第5项是.答案30解析设等差数列an的公差为d,由题意得所以an=3+3(n-1)=3n.因为bn=a2n,所以b5=a10=30.5.已知数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案1解析设等差数列an的公差为d.因为a1+1,a3+3,a5+5成等比数列,所以(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a1+1)a1+1+4(d+1)=a1+1+2(d+1)2,令a1+1=x,d+1=y,则x(x+4y)=(x+2y)2,即x2+4xy=x2+4xy+4y2,所以y=0,即d+1=0,所以q=1.等差数列的通项公式例3设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知4Sn=-4n-1,nN*,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)求证:a2=;(2)求数列an的通项公式.思维引导(1)对于4Sn=-4n-1,取n=1,可得到a1与a2的关系,即可证得;(2)当n2时,由4an=4Sn-4Sn-1=-4,可得到an+1与an的关系式,从而可知等差数列an的公差,又由a2,a5,a14构成等比数列,从而可求出基本量a1,即可写出其通项公式.解答(1)当n=1时,4a1=-5,=4a1+5,因为an0,所以a2=.(2)当n2时,4Sn-1=-4(n-1)-1,则4an=4Sn-4Sn-1=-4,即=+4an+4=(an+2)2,因为an0,所以an+1=an+2,an+1-an=2,所以当n2时,an是公差d=2的等差数列.因为a2,a5,a14构成等比数列,所以=a2a14,即(a2+6)2=a2(a2+24),解得a2=3,由(1)可知,4a1=-5=4,所以a1=1,因为a2-a1=3-1=2,所以an是首项a1=1、公差d=2的等差数列.所以数列an的通项公式为an=2n-1.精要点评等差数列的判断,主要通过等差数列的定义进行判断:an+1-an为常数d,而不能是关于n变化的函数f(n).变式已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且4Sn=+2an+1,nN*,求数列an的通项公式.解答当n=1时,a1=1.因为4Sn=+2an+1,所以4Sn+1=+2an+1+1,两式相减得4an+1=-+2an+1-2an,即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.因为数列an的各项都是正数,所以an+1-an=2,所以an为首项为1、公差为2的等差数列,故an=2n-1.等差数列的求和问题例4(xx湖北卷)已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求出n的最小值;若不存在,请说明理由.思维引导(1)设数列an的公差为d,根据a1,a2,a5成等比数列求得d的值,从而求得数列an的通项公式;(2)由(1)中求得的an,根据等差数列的求和公式求出Sn,从而解不等式求出满足条件的n.解答(1) 设数列an的公差为d,依题意得2,2+d,2+4d成等比数列,所以(2+d)2=2(2+4d),解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,所以数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.(2) 当an=2时,Sn=2n,显然2n60n+800.当an=4n-2时,Sn=2n2,令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上所述,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;当an=4n-2时,存在正整数n,使得Sn60n+800成立,n的最小值为41.精要点评等差数列的求和是数列中考查频率比较高的知识点,通常会与解不等式及求最值等知识点综合考查.变式在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解答(1)由题意,得a15a3=(2a2+2)2,由a1=10,an为公差为d的等差数列,得d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,当d=-1时,an=-n+11;当d=4时,an=4n+6.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0,所以|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn,当n12时,an0,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=2S11-Sn.1. 在等差数列an中,若a3+a13=18,则a8=.答案9解析由题意得a3+a13=2a8=18,所以a8=9.2.(xx南京学情调研)在等差数列an中,a4=7,a8=15,则数列an的前n项和Sn=.答案n2解析设等差数列an的公差为d,则a8-a4=4d=8,从而d=2,因此an=7+2(n-4)=2n-1,故Sn=n2.3. 在等差数列an中,已知S30=20,S90=80,那么S60=.答案解析设S60=x,则20,x-20,80-x成等差数列,所以20+(80-x)=2(x-20),解得x=.4. 已知数列an的前n项和Sn=n2-6n,那么数列|an|的前6项和T6=.答案18解析由Sn=n2-6n,得an是等差数列,且an=2n-7.当n3时,an0,所以T6=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=18.5. 已知数列an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,那么使数列an的前n项和Sn达到最大值时的n=.答案20解析由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35.由a2+a4+a6=99,得3a4=99,即a4=33,所以d=-2.所以an=a4+(n-4)(-2)=41-2n.由得n=20.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第7778页.