2019-2020年高中毕业班综合测试数学（理）试题（一） 含解析.doc

2019-2020年高中毕业班综合测试数学（理）试题（一） 含解析一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集, 集合, , 则集合可以表示为（ ） A B C D【答案】B【解析】试题分析：由题意得：，所以，故选B考点：集合的交集、补集运算2.已知向量，若，则实数的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，因为，所以，解得：，故选D考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模3.若某市所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A, B, C, D, 【答案】C【解析】试题分析：由茎叶图知：这组数据的中位数是，平均数是，故选C考点：1、茎叶图；2、样本的数字特征4.直线与圆的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D不能确定【答案】A【解析】试题分析：直线必过定点，因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆相交，故选A考点：直线与圆的位置关系5.若直线上存在点满足约束条件 则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意得：，解得：，所以，因为，所以，即，所以实数的取值范围是，故选A考点：线性规划6.已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由正视图得：该锥体的高是，因为该锥体的体积为，所以该锥体的底面面积是A项的正方形的面积是，B项的圆的面积是，C项的三角形的面积是，D项的三角形的面积是，故选C考点：1、三视图；2、锥体的体积7.已知为实数，则是关于的绝对值不等式有解的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由得：或，因为关于的绝对值不等式有解集，而，所以，所以是关于的绝对值不等式有解的必要不充分条件，故选B考点：1、绝对值不等式；2、充分与必要条件8.已知i是虚数单位，是全体复数构成的集合，若映射R满足: 对任意，以及任意R , 都有, 则称映射具有性质. 给出如下映射: R , , iR; R , , iR; R , , iR;其中, 具有性质的映射的序号为（ ）A B C D 【答案】B【解析】试题分析：设，（，），则，对于，而，具有性质；对于，而，因为 ，所以不具有性质；对于，而，具有性质所以具有性质的映射的序号为 ，故选B考点：1、映射；2、复数的运算；3、新定义二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（913题）9.已知，则的值为 【答案】【解析】试题分析：考点：倍角的正切10.已知e为自然对数的底数，若曲线e在点处的切线斜率为 【答案】【解析】试题分析：，所以曲线在点处的切线斜率为考点：1、导数的几何意义；2、导数的运算法则11.已知随机变量服从正态分布. 若，则等于 【答案】【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以，因为，所以考点：正态分布12.已知幂函数Z为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为 【答案】16【解析】试题分析：因为幂函数在区间上是单调增函数，所以，解得：，因为，所以或或因为幂函数为偶函数，所以是偶数，当时，不符合，舍去；当时，；当时，不符合，舍去所以，故考点：1、幂函数的性质；2、函数值13.已知N，且，CC，则可推出CCCCCCCCC，由此，可推出CCCCC 【答案】【解析】试题分析：考点：推理与证明（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数.以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为 【答案】【解析】试题分析：曲线（为参数）的普通方程为，曲线（为参数）的普通方程为由得：，所以曲线与的交点的直角坐标为，因为，点在第一象限上，所以，所以曲线与的交点的极坐标为考点：1、参数方程与普通方程互化；2、直角坐标与极坐标互化15.（几何证明选讲选做题）如图3，是圆的一条弦，延长至点，使得，过作圆的切线，为切点，的平分线交于点，则的长为 【答案】【解析】试题分析：由切割线定理得：，所以，因为是的平分线，所以，因为是圆的切线，所以，因为，所以，所以考点：1、切割线定理；2、弦切角定理三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）已知函数的图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.（1）求函数的解析式；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知得和，利用即可求出函数的解析式；（2）由已知得的值，代入，即可得的值试题解析：（1）解：由题意可得， 1分， 3分 4分由得， 5分. 6分（2）解： 点是函数在轴右侧的第一个最高点, . 7分 . 8分 9分 10分 11分 . 12分考点：1、三角函数的图象与性质；2、两角和的正弦公式17.（本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共个，从袋子中任取个球都是白球的概率为，每个球被取到的机会均等现从袋子中每次取个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为（1）求袋子中白球的个数；（2）求的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】试题分析：（1）利用从袋子中任取个球都是白球的概率为，计算出袋子中白球的个数；（2）先分析确定随机变量的所有可能取值，再计算各个取值的概率，即可得其分布列，利用数学期望公式求数学期望.试题解析：（1）解：设袋子中有N个白球，依题意得，1分即， 化简得， 2分解得，或（舍去）. 3分袋子中有个白球. 4分（2）解：由（1）得，袋子中有个红球，个白球. 5分的可能取值为， 6分， ，. 10分的分布列为： 11分. 12分考点：1、古典概型；2、解方程；3、离散型随机变量的分布列与数学期望.18.（本小题满分14分）如图4，在边长为的菱形中，点，分别是边，的中点，沿将翻折到，连接，得到如图5的五棱锥，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由，可证平面，进而可证平面；（2）先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可算出二面角的平面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，即可得二面角的平面角的正弦值.试题解析：（1）证明：点，分别是边，的中点，. 1分菱形的对角线互相垂直，.，. 2分平面，平面，平面. 3分平面. 4分（2）解法1：设，连接，为等边三角形.，. 5分在R t中，在中，. 6分，平面，平面，平面. 7分过作，垂足为，连接，由（1）知平面，且平面，.，平面，平面，平面. 8分平面，. 9分为二面角的平面角. 10分在Rt中，在Rt和Rt中，RtRt. 11分. 12分在Rt中， . 13分二面角的正切值为. 14分解法2：设，连接，为等边三角形.，.5分在R t中，在中，. 6分，平面，平面，平面. 7分以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，.8分，.设平面的法向量为，由，得 9分令，得，.平面的一个法向量为. 10分由（1）知平面的一个法向量为， 11分设二面角的平面角为，则.12分，.13分二面角的正切值为. 14分考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间向量及坐标运算；4、同角三角函数的基本关系.19.（本小题满分14分）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数, 使, , 成等比数列? 若存在, 求的值； 若不存在, 请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在正整数，使，成等比数列【解析】试题分析：（1）令即可求出的值；（2）先利用（）转化为等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求出数列的通项公式；（3）假设存在正整数, 使, , 成等比数列，由, , 成等比数列得：，化简，解出的值，与为正整数矛盾，故不存在正整数, 使, , 成等比数列试题解析：（1）解：，. 1分（2）解法1：由，得， 2分故. 3分，. 4分数列是首项为，公差为的等差数列. 5分. 6分当时， 8分又适合上式，. 9分解法2：由，得， 2分当时，3分. 分. . 分 ，. 分数列从第2项开始是以为首项，公差为的等差数列分分适合上式，. 9分解法3：由已知及（1）得，猜想. 2分下面用数学归纳法证明. 当，时，由已知，猜想成立. 3分 假设时，猜想成立，即， 4分由已知，得， 故. . 5分. 6分，. 7分. 8分故当时，猜想也成立.由知，猜想成立，即. 9分（3）解：由(2)知, .假设存在正整数, 使, , 成等比数列,则. 10分即. 11分 为正整数， . . .化简得 . 12分 , .解得, 与为正整数矛盾. 13分 不存在正整数, 使, , 成等比数列. 14分考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质；3、等差数列的前项和.20.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上异于点,的任意一点，点满足，且，三点不共线.（1）求椭圆的方程；（2）求点的轨迹方程；（3）求面积的最大值及此时点的坐标.【答案】（1）；（2），除去四个点，；（3），点的坐标为或.【解析】试题分析：（1）由双曲线的顶点得椭圆的焦点，由椭圆的定义得的值，利用即可得椭圆的方程；（2）设点，先写出，的坐标，再根据已知条件可得，代入，化简，即可得点的轨迹方程；（3）先计算的面积，利用基本不等式即可得的面积的最大值.试题解析：（1）解法1： 双曲线的顶点为, 1分 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为， 椭圆过点， ，得. 2分 . 3分 椭圆的方程为 . 4分解法2: 双曲线的顶点为, 1分 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为， 椭圆过点， . 2分 , 3分由解得, . 椭圆的方程为 . 4分（2）解法1：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，.由 , 得 ， 5分即 . 同理, 由, 得 . 6分得 . 7分由于点在椭圆上, 则，得,代入式得 . 当时，有， 当，则点或,此时点对应的坐标分别为或 ，其坐标也满足方程. 8分当点与点重合时，即点，由得 ，解方程组 得点的坐标为或.同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.点的轨迹方程为 , 除去四个点, ,. 9分解法2：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，.， 5分. 6分 得 . (*) 7分 点在椭圆上, ，得,代入(*)式得，即, 化简得 . 若点或, 此时点对应的坐标分别为或 ，其坐标也满足方程. 8分当点与点重合时，即点，由得 ，解方程组 得点的坐标为或.同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.点的轨迹方程为 , 除去四个点, ,.9分(3) 解法：点到直线的距离为.的面积为10分 . 11分而（当且仅当时等号成立）. 12分当且仅当时, 等号成立.由解得或 13分的面积最大值为, 此时,点的坐标为或.14分解法：由于，故当点到直线的距离最大时，的面积最大 10分设与直线平行的直线为，由消去，得， 由，解得11分若，则，；若，则， 12分故当点的坐标为或时，的面积最大，其值为14分考点：1、椭圆的方程；2、双曲线的方程；3、直线与圆锥曲线；4、基本不等式；5、三角形的面积；6、动点的轨迹方程.21.（本小题满分14分）已知函数.（1）若对都成立，求的取值范围；（2）已知为自然对数的底数，证明：N，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，再对函数求导，进而对的取值范围讨论确定函数在上的单调性，即可得的取值范围；（2）先结合（1），可知当时，对都成立，进而可证，化简，即可证，再结合（1），可知当时，对都成立，进而可证，化简，即可证.试题解析：（1）解：，其定义域为,. 1分 当时，当时，则在区间上单调递减，此时，不符合题意. 2分 当时，令，得，当时，则在区间上单调递减，此时，不符合题意. 3分 当时，当时，则在区间上单调递增，此时，符合题意. 4分 当时，令，得，当时，则在区间上单调递增，此时，符合题意. 5分综上所述，的取值范围为. 6分（2）证明：由（1）可知，当时，对都成立，即对都成立. 7分.8分即.由于N，则. 9分. . 10分由（1）可知，当时，对都成立，即对都成立. 11分. 12分即.得由于N，则.13分. . 14分.考点：1、用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式；4、放缩法.